2023-乙卷文-17 解-统计数字特征

本题导读

本题考查样本平均数。核心在于数据差分转化法、统计公式计算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i,y_i(i=1,2,\dots ,10)$．试验结果如下：

试验序号 i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
伸缩率 $x_i$	545	533	551	522	575	544	541	568	596	548
伸缩率 $y_i$	536	527	543	530	560	533	522	550	576	536

记 $z_i=x_i-y_i(i=1,2,\dots ,10)$，记 $z_1,z_2,\dots ,z_{10}$ 的样本平均数为 $\bar{z}$，样本方差为 $s^2$．

（1）求 $\bar{z},s^2$；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果 $\bar{z}⩾2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数据预处理：首先计算每组数据的差值 $z_i=x_i-y_i$，得到一个新的数列。

2. 计算统计量：

   • 平均数 $\bar{z}$：将所有 $z_i$ 相加除以 10。

   • 方差 $s^2$：利用公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (z_i-\bar{z}{)}^2$ 进行计算。

3. 统计推断：计算检验统计量界值 $2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，并将其与 $\bar{z}$ 进行比较，根据题目给出的规则下结论。

✅【答案】

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(1) $\bar{z}=11$，$s^2=61$

(2) 有显著提高

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\bar{z},s^2$

1. 计算差值样本数据 $z_i$：

根据 $z_i=x_i-y_i$，逐项计算：

• $z_1=545-536=9$

• $z_2=533-527=6$

• $z_3=551-543=8$

• $z_4=522-530=-8$

• $z_5=575-560=15$

• $z_6=544-533=11$

• $z_7=541-522=19$

• $z_8=568-550=18$

• $z_9=596-576=20$

• $z_{10}=548-536=12$

得到样本数据 $z$: $\{9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12\}$。

2. 计算样本平均数 $\bar{z}$：

\bar{z} = \frac{1}{10} (9 + 6 + 8 - 8 + 15 + 11 + 19 + 18 + 20 + 12)$$$$\bar{z} = \frac{110}{10} = 11

3. 计算样本方差 $s^2$：

利用公式 $s^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}(z_i-\bar{z}{)}^2$：

s^2 = \frac{1}{10} [ (9-11)^2 + (6-11)^2 + (8-11)^2 + (-8-11)^2 + (15-11)^2 + (11-11)^2 + (19-11)^2 + (18-11)^2 + (20-11)^2 + (12-11)^2 ]$$$$s^2 = \frac{1}{10} [ (-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (-19)^2 + 4^2 + 0^2 + 8^2 + 7^2 + 9^2 + 1^2 ]$$$$s^2 = \frac{1}{10} [ 4 + 25 + 9 + 361 + 16 + 0 + 64 + 49 + 81 + 1 ]$$$$s^2 = \frac{1}{10} \times 610 = 61

结论：

$\bar{z}=11$，$s^2=61$．

（2）判断是否有显著提高

1. 计算判定界值：

根据判别公式，需计算 $2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$：

$2\sqrt{\frac{61}{10}}=2\sqrt{6.1}=\sqrt{4\times 6.1}=\sqrt{24.4}$

2. 比较大小：

样本平均数 $\bar{z}=11=\sqrt{121}$。

显然 $\sqrt{121}>\sqrt{24.4}$，即 $11>2\sqrt{6.1}$。

(或者估算：$\sqrt{6.1}\approx 2.47$，则 $2\sqrt{6.1}\approx 4.94$，显然 $11>4.94$)

3. 下结论：

因为满足 $\bar{z}⩾2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$，

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：成对双变量数据向单变量差分级数的等阶转化、样本方差公式的代数算术管理、不尽根式不等式在实数轴上的区间判别。
2. 核心方法：减元化归法、平方比对法、估算控界法。
3. 避坑指南：

• 第 4 项数据相减时漏掉负号（高频毁灭性失分点）：在计算 $z_4$ 时，由于甲工艺伸缩率 $522$ 小于乙工艺 $530$，算出的差值必须带有负号，即 $z_4=-8$。部分考生由于惯性习惯用大数减小数，错算成 $8$，直接导致后续平均数算错，满分大题彻底溃败。牢记：做差分时必须死死咬定统一的项序（如固定用前者减去后者），正负属性是表征处理效能方向的核心证据，绝不可随意篡改。
• 方差求和时对 $-19$ 产生算术笔误：在计算 $(z_4-\bar{z}{)}^2=(-8-11{)}^2=(-19{)}^2$ 时，运算负负相加，大数项 $361$ 的乘方必须在草稿纸上反复核验。
• 方差公式的分母陷入 $n$ 与 $n-1$ 的纠结：在概率统计中，有“样本方差”与“样本估计总体方差（修正方差）”的区别。高考大题除非有特别文字声明，否则均默认使用标准教材中的样本方差公式（即直接除以总样本容量 $n$，本题 $n=10$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国甲卷理科数学的第17题，是概率与统计大题中的中档常规题。母题模型根植于人教A版教材《选择性必修第三册》第八章“成对数据的统计分析”章节中的配对样本试验探究。命题立意温和，旨在通过实际工业生产中的新旧工艺改进问题，考查考生将文字信息转化为数学不变量，并实施高精度纯数字运算的基本统计素养。
2. 结论推广： 在本题第二问给出的判别式中，不等式 $\bar{z}⩾2\sqrt{\frac{s^2}{10}}$ 如果将常数系数 2 移到左侧分母，两边同时乘以 $\sqrt{10}$，可以变形改写为如下极具现代统计学色彩的标准格式： $t=\frac{\bar{z}-0}{\frac{s}{\sqrt{10}}}⩾2$ 在高等数理统计学（Mathematical Statistics）中，这正是大名鼎鼎的**“配对样本 $t$ 检验（Paired Samples t-test）”**的统计量估计表达式。其中分子 $\bar{z}-0$ 代表处理效应的均值偏离；分母 $\frac{s}{\sqrt{10}}$ 则代表该均值的标准误（Standard Error）。 常数系数 2 实际上是对应于显著性水平 $\alpha =0.05$（即 $95\%$ 置信度）下，自由度为 $9$ 的 $t$ 分布的临界值截断点。本题将这一高等大学统计学的核心工具，以极其精简、友好的初等不等式形式包装呈现，不仅测试了学生的计算抗压能力，更为未来进入高校进一步学习数据科学（Data Science）奠定了最底层的统计推断直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-06 填-平均数
• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2010-山东卷理-06