2010-山东卷文-06 单-平均数与方差

本题导读

考查平均数与方差。去掉最高分 $98$、最低分 $88$ 后剩 $9$ 个数，平均数 $92$，方差 $2.8$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： $90899095939493$ 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()

A. $92,2$　　　　　B. $92,2.8$　　　　　C. $93,2$　　　　　D. $93,2.8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 七个数据：$89,90,90,93,93,94,95$（排序后）。最高 $95$、最低 $89$，去掉后剩 $90,90,93,93,94$。
2. 平均数 $\bar{x}=\frac{90+90+93+93+94}{5}=\frac{460}{5}=92$。
3. 方差 $s^2=\frac{(90-92{)}^2\times 2+(93-92{)}^2\times 2+(94-92{)}^2}{5}=\frac{4+4+2+2+4}{5}=\frac{14}{5}=2.8$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将七个分数排序：$89,90,90,93,93,94,95$. 去掉一个最高分 $95$ 和一个最低分 $89$，剩余数据为 $90,90,93,93,94$. 平均数 $\bar{x}=\frac{90+90+93+93+94}{5}=\frac{460}{5}=92.$ 方差 $s^2=\frac{(90-92{)}^2+(90-92{)}^2+(93-92{)}^2+(93-92{)}^2+(94-92{)}^2}{5}=\frac{4+4+1+1+4}{5}=\frac{14}{5}=\mathrm{2.8.}$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平均数与方差的计算

核心方法：去掉最高最低分后重算平均数，再用 $\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 求方差

避坑指南：去分后剩 $5$ 个数而非 $7$ 个；方差分母是 $5$，分子是各离差平方和，别误除以 $7$ 或误用总体方差。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：去掉极端值后重新计算数字特征，是数据处理的基本功。

结论推广：方差 $s^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2=\overline{x^2}-{\bar{x}}^2$，两式等价，后者有时更省算。

方法推广：平均数变了方差必重算；离差平方和先算平均数再逐个相减，避免心算正负号错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-18 解-茎叶图与方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2009-江苏卷-06 填-方差比较