2023-乙卷文-18 解-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于基本量法（方程组法）、零点分段法（正负项划界法）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。已知 $a_2=11$，$S_{10}=40$。

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{|a_n|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$。

🔍【思路分析】

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1. 第（1）问思路：

• 设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
• 根据通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 和前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 列出关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组。
• 解方程组求出基本量，进而写出通项公式。

2. 第（2）问思路：

• 分析 $\{a_n\}$ 的正负临界点：令 $a_n\ge 0$ 求出 $n$ 的范围，确定数列从哪一项开始由正变负。
• 根据临界点对项数 $n$ 进行分类讨论：
  • 当 $n$ 不超过临界点时， $|a_n|=a_n$，此时 $T_n=S_n$。
  • 当 $n$ 超过临界点时，利用分段求和性质，将前几项正项之和与后面的负项（去掉绝对值符号变为相反数）之和分别相加，即 $T_n=S_{\text{临界}}-(S_n-S_{\text{临界}})=2S_{\text{临界}}-S_n$。

✅【答案】

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(1) $a_n=-2n+15$

(2) $T_n=\{\begin{array}{ll}-n^2+14n,& n⩽7\\ n^2-14n+98,& n⩾8\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由题意可列方程组： $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=11\\ 10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=40\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1+d=11\\ 10a_1+45d=40\end{array}$

化简第二个方程得 $2a_1+9d=8$。 联立求解： $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=11\text{(1)}\\ 2a_1+9d=8\text{(2)}\end{array}$ 由① $\times 2$ 得 $2a_1+2d=22$ ③， 用② - ③ 得： $7d=-14⟹d=-2$。 将 $d=-2$ 代入①得： $a_1=13$。

所以，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)\times (-2)=-2n+15$

其前 $n$ 项和公式为： $S_n=13n+\frac{n(n-1)}{2}\times (-2)=13n-n(n-1)=-n^2+14n$

（2）解： 由（1）得 $a_n=-2n+15$。 令 $a_n\ge 0⟹-2n+15\ge 0⟹n\le 7.5$。 因为 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$， 所以当 $n\le 7$ 时， $a_n>0$；当 $n\ge 8$ 时， $a_n<0$。

下面对 $n$ 的取值范围分类讨论求 $T_n$：

情况一：当 $n\le 7$ 时 此时所有的 $a_n$ 均为正数，因此 $|a_n|=a_n$。 $T_n=|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|=a_1+a_2+\cdots +a_n=S_n$ 代入求和公式得： $T_n=-n^2+14n$

特别地，当 $n=7$ 时： $S_7=-7^2+14\times 7=-49+98=49$

情况二：当 $n\ge 8$ 时 此时前 7 项为正数，从第 8 项起均为负数。 $T_n=(a_1+a_2+\cdots +a_7)+(-a_8-a_9-\cdots -a_n)$ $T_n=S_7-(S_n-S_7)=2S_7-S_n$

代入 $S_7=49$ 和 $S_n=-n^2+14n$ 得： $T_n=2\times 49-(-n^2+14n)=n^2-14n+98$

综上所述，数列 $\{|a_n|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ 为： $T_n=\{\begin{array}{ll}-n^2+14n,& n\le 7\\ n^2-14n+98,& n\ge 8\end{array}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量运算、含有绝对值项的数列分段求和。
2. 核心方法：零点分段法（正负划界法）。处理绝对值数列求和时，先找通项公式为 0 的临界点，判定项的正负分布情况，然后利用分段函数分类讨论，最后用整体求和公式 $S_n$ 进行化简代换。
3. 避坑指南：

• 方程化简失误：第（1）问求和公式中系数含有 $\frac{n(n-1)}{2}$，代入已知数值计算时易将分母漏掉。
• 边界点归类错误：找出临界点 $7.5$ 后，需明确第 7 项仍为正（$a_7=1$），第 8 项开始变负（$a_8=-1$），分段界限应在 7 和 8 之间，切勿丢项。
• 第二阶段符号展开错误：当 $n\ge 8$ 时， $T_n=S_7-(S_n-S_7)=2S_7-S_n$，注意括号展开时的负负得正，防止因漏掉负号算出错误的多项式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等差数列前 $n$ 项和最值问题的变式习题。绝对值求和是考查学生将代数绝对值符号在离散数列环境中分离的经典中档压轴题型。
2. 结论推广：

• 等差绝对值数列求和通用模型：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1>0$，公差 $d<0$。若该数列的前 $k$ 项为正数，从第 $k+1$ 项开始变为负数。
• 则该数列绝对值前 $n$ 项和 $T_n$ 的通用分段递推公式为： $T_n=\{\begin{array}{ll}{S}_n,& n\le k\\ 2S_k-S_n,& n>k\end{array}$
• 本题中由通项公式算出 $k=7$。当 $n\ge 8$ 时直接套用此推广模型： $T_n=2S_7-S_n$。该通式可免去中间繁琐的项数展开拆分过程，极大提升作答效率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和