本题导读
本题考查可行域，以及最优解。
📌【题干】
Question
（2023年乙卷理）若 满足约束条件 ，则 的最大值为 ________．
🔍【思路分析】
破题导航
绘制可行域：将不等式组转化为平面区域。确定三条边界直线：，，。
确定顶点坐标：求出围成可行域的多边形的各个顶点坐标。
分析目标函数：将 变形为 。直线的斜率为 ，纵截距为 。
确定最优解位置：要使 最大，需使纵截距 最小，即直线在 轴上的截距越小越好（直线位置越靠下）。或者直接计算各顶点的 值进行比较。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
1. 确定边界直线与交点（顶点）：
联立方程组求可行域的顶点：
联立 与 ：
由第一式得 ，代入第二式：．
则 ．
得到顶点 ．
联立 与 ：
由第二式得 ，代入第一式：．
则 ．
得到顶点 ．
联立 与 ：
将第二式变形为 代入第一式：．
则 ．
得到顶点 ．
2. 确定可行域：
可行域为由点 围成的三角形区域内部（含边界）。
3. 寻找最优解：
目标函数 。
方法一：顶点代入法（推荐）
在点 处：；
在点 处：；
在点 处：。
比较可知，最大值为 。
方法二：斜率分析法（几何直观）
目标函数直线系 的斜率 。
边界直线斜率分别为：，，。
斜率 大于 。当直线 向右下方平移（使截距 变小，即 变大）时，最先离开可行域的顶点是 。
结论：
故 的最大值为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：加减消元法求解二元一次边界方程交点、线性规划凸集顶点最值定理、斜截式方程中截距与目标值变向符号（如 ）的反向传导。
- 核心 method：顶点坐标代数穷举法（简化避错）、直线系射影平移法。
- 避坑指南：
- 联立解方程时发生正负号笔误（高频丢分点）：在线性规划题目中， 90% 以上的错误来源于第一步求交点。比如在联立 与 时，稍有不慎就会把 算错成负数，导致代入后得出一个完全偏离的错误 值。考场上解完方程组，务必将坐标反代回原不等式组的另一方程进行快速口算复核。
- 盲目相信“直线往上平移 就变大”的直觉误区：在几何平移法中，由于目标函数中 的系数是 （负数），导致 与纵截距 符号相反。很多考生习惯性认为最大值一定在最上方的顶点 处取得，从而误算出 的错误答案。牢记：只要目标函数中 的前面是减号，最大值对应的直线位置往往越靠下。如果不放心平移方向，直接使用解法一的“顶点穷举代入法”加装安全带。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学填空题的第二题（第14题），是一道结构极其规整、无任何新定义或非线性干扰的传统线性规划高频考题。母题模型根植于人教A版教材《必修第五册》第三章“简单线性规划的应用”的课后核心练习。命题意图非常纯粹，旨在通过扎实的运算测试考生的基础得分率。
- 结论推广： 在运筹学（Operations Research）与初等凸分析中，简单线性规划的目标函数不仅包含本题的齐次线型 ，在压轴选择题中往往会横向推广为以下三种经典的非线性拓扑几何模型：
- 斜率模型（分式型）： 。几何本质代表可行域内的动点 与外置定点 连线的斜率，通过切线临界点求最值。
- 距离平方模型（二次型）： 。几何本质代表可行域内的动点到定点 的欧氏距离的平方，最值往往在距离定点最近的垂足或最远的顶点处产生。
- 截距比模型（平行截断型）： 。几何本质对应点到平行直线系的垂直距离。 掌握这些从基本线性向高维几何不变量的代数演变规律，不仅能帮助考生看穿各种变式压轴题的包装，更能对高等数学中条件极值（拉格朗日乘子法，Lagrange Multipliers）的对称分布建立最直观的物理映像。
🔗【关联脉络】
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