2013-湖南卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le 2x\\ x+y\le 1\\ y\ge -1\end{array}$，则 $x+2y$ 的最大值是()

A. $-\frac{5}{2}$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $\frac{5}{3}$　　　　　　　D. $\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 绘制可行域：在平面直角坐标系中画出不等式组确定的封闭或开放区域。
   • 直线 $l_1:y=2x$ 及其右下方区域。
   • 直线 $l_2:x+y=1$ 及其左下方区域。
   • 直线 $l_3:y=-1$ 及其上方区域。
2. 设定目标函数：令 $z=x+2y$。
3. 平移直线：将直线 $x+2y=z$ 化为斜截式 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。该直线的截距 $\frac{z}{2}$ 随 $z$ 的增大而增大。
4. 确定最优点：通过平移直线，寻找使截距最大的可行域顶点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域顶点 联立方程组求交点：

• 联立 $y=2x$ 与 $x+y=1$： $x+2x=1⟹x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$。得顶点 $C(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。
• 联立 $x+y=1$ 与 $y=-1$： $x-1=1⟹x=2$。得顶点 $B(2,-1)$。
• 联立 $y=2x$ 与 $y=-1$： $-1=2x⟹x=-\frac{1}{2}$。得顶点 $A(-\frac{1}{2},-1)$。 可行域为 $△ABC$ 及其内部。

第二步：平移目标函数直线 目标函数为 $z=x+2y$，即 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。 观察可行域图象，目标函数直线的斜率为 $-\frac{1}{2}$。

• 直线 $l_2:x+y=1$ 的斜率为 $-1$。
• 直线 $l_1:y=2x$ 的斜率为 $2$。 由于 $-\frac{1}{2}>-1$，当直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$ 向上平移至经过顶点 $C(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 时，纵截距 $\frac{z}{2}$ 取得最大值。

第三步：计算最大值 将 $C(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 代入 $z=x+2y$： $z_{\max }=\frac{1}{3}+2\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$

故选：C。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划中目标函数 $z=ax+by$ 的几何意义。当 $b>0$ 时，$z$ 随截距增大而增大；当 $b<0$ 时，$z$ 随截距增大而减小。

核心方法：**“画、移、求、答”**四步法。

避坑指南：- 交点坐标计算务必准确。 - 目标函数直线的斜率与可行域边界斜率的大小比较决定了哪个顶点是最优点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划中目标函数 $z=ax+by$ 的几何意义。当 $b>0$ 时，$z$ 随截距增大而增大；当 $b<0$ 时，$z$ 随截距增大而减小。

结论推广：若求 $x+2y$ 的最小值，通常在可行域的左下角顶点 $A(-\frac{1}{2},-1)$ 处取得。

方法推广：对于非线性目标函数（如 $x^2+y^2$ 表示距离平方），则通过寻找圆与可行域的切点或最近顶点来求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划