2023-北京卷-06 单-抛物线的定义

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及抛物线的定义。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$，点 $M$ 在 $C$ 上．若 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 $5$，则 $|MF|=$（　　）

A. $7$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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分析目标：题目要求计算抛物线上的点 $M$ 到焦点 $F$ 的焦半径 $|MF|$。

求解步骤：对于抛物线上的焦半径问题，首选“抛物线定义”进行转化。即把“点到焦点的距离”转化为“点到准线的距离”。求出抛物线的准线方程后，结合已知中点 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离，利用几何关系进行加减运算即可求出点 $M$ 到准线的距离，从而得到 $|MF|$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解析：

由抛物线 $C:y^2=8x$ 的标准形式 $y^2=2px$ 可知：

$2p=8⟹p=4$

因此，抛物线 $C$ 的焦点坐标为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，即 $F(2,0)$；

其准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$，即 $x=-2$。

根据抛物线的定义，抛物线上的点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离，等于点 $M$ 到准线 $x=-2$ 的距离。

设点 $M$ 的横坐标为 $x_M$（由于 $M$ 在抛物线右半平面，显然 $x_M\ge 0$），

点 $M$ 到准线 $x=-2$ 的距离为 $d_1=x_M-(-2)=x_M+2$，故 $|MF|=d_1$。

已知点 $M$ 到直线 $x=-3$ 的距离为 $5$，即 $d_2=x_M-(-3)=x_M+3=5$。

由此可得 $x_M=2$。

所以点 $M$ 到准线 $x=-2$ 的距离为：

$|MF|=x_M+2=2+2=4$

（或者直接通过几何平移关系：直线 $x=-2$ 在直线 $x=-3$ 右侧距离为 $1$ 的位置，点 $M$ 在 $y$ 轴右侧，所以点 $M$ 到 $x=-2$ 的距离等于到 $x=-3$ 的距离减去 $1$，即 $5-1=4$。）

故 $|MF|=4$。

故选：D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准参量 $p$ 的提炼、抛物线保距定义式的空间等价代换、平行直线系中距离的段切关系。
2. 核心方法：数形结合空间平移法（解法一）、焦半径坐标公式代入法（解法二）。
3. 避坑指南：

• 盲目联立两点距离公式：部分考生在求 $|MF|$ 时，若未联想到抛物线定义，会试图先求出 $y_M$ 的坐标再去套用 $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$。在考场上这种做法不仅运算量极大，而且极易由于带根号的代数式导致计算崩溃。必须牢记口诀：“见抛物线焦半径，百分之百用定义”。
• 平行线相对位置看反（错选 B）：在利用几何法做线段加减时，务必在草稿纸上简单画出 $x=-2$ 与 $x=-3$ 的轴向位置，明确 $x=-2$ 离抛物线更近。部分粗心的考生容易凭直觉进行加法运算，算成 $5+1=6$ 从而错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考解析几何板块中最为经典的传统基础题，母题原型直接根植于各版教材中关于“抛物线定义应用”的开篇例题。命题意图非常纯粹，即考查学生对圆锥曲线最底层几何定义的理解深度与转化本能，属于稳定的必得分点。
2. 结论推广： 对于更为一般化的标准抛物线 $y^2=2px(p>0)$，设其准线为 $x=-\frac{p}{2}$。若已知抛物线上的一点 $M$ 到外侧平行定直线 $x=-d\left(d>\frac{p}{2}\right)$ 的垂直距离为 $L$，则点 $M$ 到焦点 $F$ 的焦半径长度 $|MF|$ 恒满足统一的几何扣除恒等式： $|MF|=L-\left(d-\frac{p}{2}\right)$ 利用该推广模型，无论参数如何漂移，考生均能通过“全长减去夹缝宽”的几何直观实现快速求解，进一步强化了解析几何中“以形助数”的核心素养。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义