2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线的性质以及直线与抛物线相交产生的面积问题。解题关键在于通过抛物线方程确定焦点，结合直线方程进行联立，利用韦达定理表达出纵坐标之差，从而巧妙计算以焦点为底、纵坐标差为高的三角形面积。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ }$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，则 $△OAB$ 的面积为 ()

A. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$　　　　　　B. $\frac{9\sqrt{3}}{8}$　　　　　　C. $\frac{63}{32}$　　　　　　D. $\frac{9}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定焦点坐标：根据抛物线标准方程 $y^2=2px$，求出 $p$ 值及焦点 $F(\frac{p}{2},0)$。
2. 构建直线方程：利用点斜式写出经过焦点 $F$ 且斜率为 $\tan 30^{\circ }$ 的直线方程。为了方便后续联立计算 $y$，建议将直线写成 $x=f(y)$ 的形式。
3. 联立方程求交点关系：将直线方程代入抛物线方程，得到关于 $y$ 的一元二次方程，利用韦达定理写出 $y_1+y_2$ 和 $y_1{y}_2$。
4. 面积计算策略：$△OAB$ 可以看作是以 $OF$ 为公共底边的两个三角形 $△OAF$ 和 $△OBF$ 的面积之和。 $S_{△OAB}=S_{△OAF}+S_{△OBF}=\frac{1}{2}|OF|\cdot |y_1|+\frac{1}{2}|OF|\cdot |y_2|=\frac{1}{2}|OF|\cdot |y_1-y_2|$
5. 代入化简：利用 $|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$ 进行计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求焦点 $F$ 的坐标 由抛物线 $C:y^2=3x$ 知，$2p=3⟹p=\frac{3}{2}$。 焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{3}{4},0)$。

第二步：求直线 $AB$ 的方程 直线的倾斜角为 $30^{\circ }$，斜率 $k=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 直线方程为：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{3}{4})$。 化简为：$x=\sqrt{3}y+\frac{3}{4}$。

第三步：联立方程并应用韦达定理 将 $x=\sqrt{3}y+\frac{3}{4}$ 代入 $y^2=3x$ 得： $y^2=3(\sqrt{3}y+\frac{3}{4})$ $y^2-3\sqrt{3}y-\frac{9}{4}=0$ 整理得：$4y^2-12\sqrt{3}y-9=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，根据韦达定理： $y_1+y_2=3\sqrt{3}$，$y_1{y}_2=-\frac{9}{4}$。

第四步：计算三角形面积 $△OAB$ 的面积等于底 $|OF|$ 乘以纵坐标差绝对值的一半： $S_{△OAB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot |y_1-y_2|=\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$ 代入数据： $S_{△OAB}=\frac{3}{8}\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2-4(-\frac{9}{4})}=\frac{3}{8}\sqrt{27+9}=\frac{3}{8}\sqrt{36}$ $S_{△OAB}=\frac{3}{8}\times 6=\frac{9}{4}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的焦点、过焦点弦与三角形面积。

2. 核心方法：联立直线与抛物线，用韦达定理表达 $|y_1-y_2|$，再以 $|OF|$ 为底求面积。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线的参数方程在弦长问题中的应用、抛物线的焦半径公式。

2. 结论推广: 对于抛物线 $y^2=2px$，过焦点的弦 $AB$ 与原点构成的三角形面积 $S=\frac{p^2}{2\sin \theta }$（其中 $\theta$ 为直线倾斜角）。 验证：$S=\frac{(3/2{)}^2}{2\times \sin 30^{\circ }}=\frac{9/4}{2\times 1/2}=\frac{9}{4}$。此公式可作为选择题快速求解技。

3. 方法推广: 面对椭圆或双曲线的面积问题，同样适用这种“底在轴上，高为差值”的拆分思想。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义