2023-北京卷-09 单-二面角与棱锥

本题导读

本题考查二面角的基本概念，以及多面体与棱柱、棱锥的结构特征。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素。安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美。如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形。若 $AB=25\text{m}$，$BC=AD=10\text{m}$，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 $ABCD$ 的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$，则该五面体的所有棱长之和为（　　）

A. $102\text{m}$　　　　　B. $112\text{m}$　　　　　C. $117\text{m}$　　　　　D. $125\text{m}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定体现位置：根据对称性，屋顶脊线 $EF$ 垂直体现到地面应在底面矩形 $ABCD$ 的中心轴线上。

2. 利用二面角求高：通过二面角的正切值 $\frac{\sqrt{14}}{5}$，结合底面边长的一半，求出五面体的高度 $EO$。

3. 求脊线长度：由于所有侧面与底面夹角相等，侧面三角形和侧面梯形的高在底面的体现长度应当相等。由此确定脊线 $EF$ 与底面边 $AB$ 的长度差。

4. 计算侧棱长：利用勾股定理依次求出侧面三角形的高、侧棱长。

5. 求和：汇总底面 4 条棱、顶部 1 条棱及侧面 4 条棱的长度。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定义关键点与二面角

如图，设五面体顶部脊线为 $EF$。过 $E$ 作 $EO\perp$ 平面 $ABCD$，垂足为 $O$。

过 $E$ 分别作 $EG\perp BC$ 于 $G$，$EM\perp AB$ 于 $M$。连接 $OG$，$OM$。

由二面角定义可知，$\angle EGO$ 是等腰三角形侧面与底面的夹角，$\angle EMO$ 是等腰梯形侧面与底面的夹角。

由题意：$\tan \angle EMO=\tan \angle EGO=\frac{\sqrt{14}}{5}$。

第二步：求高度 $EO$ 与体现长度

因为 $BC=10$，由对称性知 $M$ 是 $AB$ 中点，且 $OM=\frac{1}{2}BC=5$。

在 $Rt△EMO$ 中：

$EO=OM\cdot \tan \angle EMO=5\times \frac{\sqrt{14}}{5}=\sqrt{14}$

因为 $\tan \angle EGO=\frac{EO}{OG}=\frac{\sqrt{14}}{5}$，且 $EO=\sqrt{14}$，

所以 $OG=5$。

第三步：计算各棱长

1. 底面棱长：$2\times AB+2\times BC=2\times 25+2\times 10=70\text{m}$。

2. 顶部脊线 $EF$：

   由于 $OG=5$ 是 $E$ 到侧边 $BC$ 的体现距离，同理 $F$ 到 $AD$ 的体现距离也为 $5$。

   所以脊线长度 $EF=AB-2\times OG=25-5-5=15\text{m}$。

3. 侧棱长（以 $EB$ 为例）：

   在 $Rt△EOG$ 中，$EG=\sqrt{E{O}^2+O{G}^2}=\sqrt{(\sqrt{14}{)}^2+5^2}=\sqrt{14+25}=\sqrt{39}$。

   在 $Rt△EBG$ 中，由于 $G$ 是 $BC$ 中点，$BG=5$。

   所以侧棱 $EB=\sqrt{E{G}^2+B{G}^2}=\sqrt{39+5^2}=\sqrt{39+25}=\sqrt{64}=8\text{m}$。

   该五面体共有 4 条相等的侧棱。

第四步：计算总和

所有棱长之和 $L$ 为：

L = (AB \times 2 + BC \times 2) + EF + (侧棱 \times 4)$$$$L = (25 \times 2 + 10 \times 2) + 15 + 8 \times 4$$$$L = 70 + 15 + 32 = 117\text{m}

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体图形中二面角平面角的规范作法、中心对称结构中射影长度的段切计算、复杂多面体内部隐藏直角三角形的勾股传导律。
2. 核心方法：射影对照分析法、空间勾股逐步逼近法。
3. 避坑指南：

• 混淆斜高与垂直高的体现位置：本题极易出错的地方在于混淆 $OM$ 与 $OG$。由于底面是长方形（$25\times 10$）而非正方形，脊线 $EF$ 具有一定长度。必须明确 $OM$ 对应的是长边的射影间距（恒等于短边的一半 $5$），而 $OG$ 是短边的射影间距，必须通过等角条件独立解出。
• 顶部脊线 $EF$ 长度漏算或多算：部分考生空间想象力不足，容易误认为 $EF$ 的长度等于 $AB$ 或等于 $AB-OM$。遇到此类问题，建议在草稿纸上绘制一个底面俯视图，将顶点 $E,F$ 的体现标出，即可直观看出剪裁关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题立意新颖，将数学几何模型与中国传统古建筑（歇山顶/庑殿顶坡屋顶）的木结构跨度设计进行有机融合。题目在本质上属于传统四棱锥、正棱锥截断模型的变式。通过将侧面夹角设为正切常数，考查学生脱离标准标准柱体、锥体后，对任意多面体构件进行代数化解构的工程数学素养。
2. 结论推广： 对于底面为矩形 $a\times b$（长为 $a$，宽为 $b$），且四个侧面与底面所成二面角均相等的坡屋顶五面体模型，存在以下刚性的普适拓扑几何规律： 因为所有侧面倾角 $\theta$ 相等，所以脊线顶点到各底边的水平射影距离恒相等，即 $OG=OM=\frac{b}{2}$。 由此可直接外推出顶部水平脊线 $EF$ 的长度通式： $EF=a-2\cdot OG=a-b$ 在本题中，长 $a=25$，宽 $b=10$，利用此推广结论可直接快速求解求出顶脊长度 $EF=25-10=15\text{m}$。这一规律表明，只要侧面倾角一致，脊线缩短的长度正好等于底面的宽度，掌握此二级结论能极大地提高在考场上面对此类建筑几何题时的破题速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-03 单-平面的基本性质及公理
• 2014-大纲卷理-11 单-异面直线所成的角
• 2013-安徽卷理-19 解-线面平行