2023-北京卷-13 填-正切函数性质

本题导读

本题考查任意角与象限角的概念。核心在于构造反例法、终边定位法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）已知命题 $p：$ 若 $\alpha ,\beta$ 为第一象限角，且 $\alpha >\beta$，则 $\tan \alpha >\tan \beta$．能说明 $p$ 为假命题的一组 $\alpha ,\beta$ 的值为 $\alpha =$ __________，$\beta =$ __________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确陷阱：正切函数 $y=\tan x$ 在 每一个开区间 $(k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{\pi }{2})$ 上是单调递增的。但由于其具有周期性且不连续，在整个定义域上并不是单调递增的。

2. 定义理解：第一象限角是指终边落在第一象限的角，其集合为 $\{\theta \mid 2k\pi <\theta <2k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}$。

3. 构造策略：要使 $\tan \alpha \le \tan \beta$ 但 $\alpha >\beta$，我们可以让 $\alpha$ 比 $\beta$ 多出若干个周期（比如 $2\pi$），但 $\alpha$ 的终边位置“落后”于 $\beta$ 的终边位置。

✅【答案】

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$\frac{9\pi }{4}$，$\frac{\pi }{3}$ （答案不唯一，只要满足 $\alpha ,\beta$ 在第一象限，$\alpha >\beta$ 且 $\tan \alpha \le \tan \beta$ 即可）

✍【详细解析】

Abstract

要证明命题 $p$ 为假命题，只需找到一组满足条件但结论不成立的反例。

条件 1：$\alpha ,\beta$ 是第一象限角。

条件 2：$\alpha >\beta$。

待证（使之不成立）：$\tan \alpha \le \tan \beta$。

1. 选定 $\beta$：

   取 $\beta =\frac{\pi }{3}$（即 $60^{\circ }$），显然 $\beta$ 是第一象限角，且 $\tan \beta =\sqrt{3}$。

2. 选定 $\alpha$：

   我们需要 $\alpha >\beta$，但 $\tan \alpha$ 较小。

   考虑第一象限内比 $\beta$ 的终边位置“低”的角，如 $\frac{\pi }{6}$（即 $30^{\circ }$）。

   为了满足 $\alpha >\beta$，我们将 $\frac{\pi }{6}$ 加上一个周期 $2\pi$。

   令 $\alpha =2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$（即 $390^{\circ }$）。

   此时：

   • $\alpha$ 的终边在第一象限，所以 $\alpha$ 是第一象限角。

   • $\alpha =390^{\circ }>\beta =60^{\circ }$，满足条件。

   • $\tan \alpha =\tan (2\pi +\frac{\pi }{6})=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

3. 校验结果：

   因为 $\frac{\sqrt{3}}{3}<\sqrt{3}$，所以 $\tan \alpha <\tan \beta$。

   这组值成功说明了命题 $p$ 为假。

常见答案示例：

• $\alpha =\frac{9\pi }{4}(405^{\circ }),\beta =\frac{\pi }{3}(60^{\circ })$

• $\alpha =2\pi +\frac{\pi }{6},\beta =\frac{\pi }{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：终边相同角的集合表征、正切函数图像在非连续并集区间上的局部递增本质、反例逻辑的非空判定。
2. 核心方法：周期平移错位法、特殊角定量代入法。
3. 避坑指南：

• 将第一象限角误缩减为锐角：这是最普遍的概念短板。很多学生由于思维定势，想当然地认为第一象限角就是 $0$ 到 $90^{\circ }$ 之间的锐角。如果是锐角，由于其全部包裹在同一个单调递增区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，命题 $p$ 将无懈可击。必须通过加减 $2k\pi$ 唤醒对“任意角”的几何记忆。
• 反例角度大小关系写反：在落笔填空时，务必仔细核对哪一个是 $\alpha$，哪一个是 $\beta$。题目要求条件是 $\alpha >\beta$，如果把大角填在 $\beta$ 位置、小角填在 $\alpha$ 位置，由于不满足“前提到提”，该反例将彻底失效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有极其鲜明的“北京高考自主命题”风格。北京卷常年热衷于在填空题的中后段设置这类不设唯一标准答案的“开放性举反例”或“多条件组合”试题。这类题目的根基深深扎入教材中关于“三角函数单调区间与渐近线隔离”的深度思辨，旨在打击靠死记硬背公式、生搬硬套题型的机械刷题者，考查真正的独立批判性构造思维。
2. 结论推广： 我们可以将该反例构造模式推广为一个跨周期的刚性不等式判别律： 对于所有具有周期性且在单个周期分支内单调递增的间断函数 $y=f(x)$（如正切函数 $y=\tan x$、余切函数 $y=\cot x$、或者某些分式分段函数），设其在标准主区间内的某段单调域为 $I_0$。 若取 $x_1,x_2\in I_0$，只要满足 $x_1<x_2$，则可以通过对小角 $x_1$ 施加 $N$ 个周期的上推变换，构造出高位变量： ${\tilde{x}}_1=x_1+N\cdot T(N\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

此时，虽然在全局上 ${\tilde{x}}_1>x_2$，但由于终边或相位的平移一致性，其函数值输出恒满足： $f({\tilde{x}}_1)=f(x_1)<f(x_2)$ 利用这个“周期平移超越模型”，考生在面对任何周期函数的全局单调性陷阱时，都能瞬间在脑海中拉出一条的蛛网截断轨，实现快速求解破局。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-01 单-象限角符号判断
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数
• 2009-大纲卷II理-08