2023-北京卷-15 填-分段函数最值

本题导读

本题考查分段函数，以及函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）设 $a>0$，函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<-a\\ \sqrt{a^2-x^2},& -a\le x\le a\\ -\sqrt{x}-1,& x>a\end{array}$，给出下列四个结论：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty )$ 上单调递减；

② 当 $a\ge 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；

③ 设 $M(x_1,f(x_1))$ ($x_1\le a$)，$N(x_2,f(x_2))$ ($x_2>a$)，则 $|MN|>1$；

④ 设 $P(x_3,f(x_3))$ ($x_3<-a$)，$Q(x_4,f(x_4))$ ($x_4\ge -a$)．若 $|PQ|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $(0,\frac{1}{2}]$．

其中所有正确结论的序号是 ____________．

🔍【思路分析】

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待补

✅【答案】

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②③

✍【详细解析】

Abstract

函数图像分析：

• 第一段：射线 $y=x+2$ ($x<-a$)，斜率为 1，向上增长。

• 第二段：半圆 $x^2+y^2=a^2$ ($y\ge 0,-a\le x\le a$)，圆心 $(0,0)$，半径 $a$。

• 第三段：曲线 $y=-\sqrt{x}-1$ ($x>a$)，单调递减。

结论判定：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty )$ 上单调递减：错误

取 $a=\frac{1}{2}$。则区间为 $(-\frac{1}{2},+\infty )$。

在 $x\in [-\frac{1}{2},0]$ 时，$f(x)=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2-x^2}$，该部分是半圆的左侧，属于单调递增。

故 $f(x)$ 在该区间上不是单调递减。

② 当 $a\ge 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值：正确

• 当 $x<-a$ 时，$f(x)=x+2<-a+2$。若 $a\ge 1$，则 $f(x)<1$。

• 当 $-a\le x\le a$ 时，$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}\in [0,a]$，最大值为 $a$。

• 当 $x>a$ 时，$f(x)=-\sqrt{x}-1<-\sqrt{a}-1$。若 $a\ge 1$，则 $f(x)<-2$。

  由于 $a\ge 1$，半圆部分的最大值 $a$ 显然大于其他两段的上界，因此全局最大值为 $a$。

③ 设 $M(x_1,f(x_1))$ ($x_1\le a$)，$N(x_2,f(x_2))$ ($x_2>a$)，则 $|MN|>1$：正确

• 当 $x_1\le a$ 时，$f(x_1)\ge 0$。

• 当 $x_2>a$ 时，$f(x_2)=-\sqrt{x_2}-1<-\sqrt{a}-1<-1$。

  根据两点间距离公式：$|MN|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(f(x_1)-f(x_2){)}^2}$。

  考察纵坐标之差：$|f(x_1)-f(x_2)|=f(x_1)-f(x_2)>0-(-1)=1$。

  由于纵向距离已经大于 1，则总距离 $|MN|$ 必然大于 1。

④ $|PQ|$ 存在最小值时 $a$ 的范围：错误

$P$ 在直线 $L:x-y+2=0$ ($x<-a$) 上。$Q$ 在半圆或右侧曲线上。

要使 $|PQ|$ 有最小值，通常是考察直线到圆心的距离。

圆心 $(0,0)$ 到直线 $x-y+2=0$ 的垂直体现点（垂足）由系统解得：

$\{\begin{array}{l}y-0=-1(x-0)\\ x-y+2=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$。

垂足为 $(-1,1)$。如果该点落在第一段函数的定义域内，即 $x_3=-1<-a$，即 $a<1$，那么 $|PQ|$ 的最小值就在该垂足与圆的交点处取得。

取 $a=\frac{4}{5}$（在 $1/2$ 之外），此时 $-1<-a$ 成立，最小值存在（为 $\sqrt{2}-a$）。

因此 $a$ 的范围不局限于 $(0,\frac{1}{2}]$。

结论：

综上，正确序号为 ②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数图象的几何还原、闭区间连续函数的最值定理、点到直线距离在曲线最值中的体现应用。
2. 核心方法：数形结合法、分段边界极值夹逼法。
3. 避坑指南：

• 结论 ① 极易因忽略分段函数的区间交界点而误判，通过取特殊值 $a=\frac{1}{2}$ 可直接证伪。
• 结论 ④ 涉及无理式与分段方程，严禁尝试直接写出代数距离公式求导。应转化为初等几何模型：直线到圆心的垂直体现点若落在射线的定义域内，则最小值必然存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于经典的分段复合函数图象拼接模型。其高等数学背景可追溯至分段光滑曲线的几何拓扑性质与距离泛函最值分析。在多元微积分和变分法初步中，此类问题用于研究非连通集上两点间欧几里得距离的下确界（Infimum），是考查空间几何图形变动规律的典型初等化包装。
2. 结论推广: 将本题结论 ④ 推广，一般化为：对于开口向右的定射线 $L:Ax+By+C=0(x<x_0)$ 与圆心在原点、半径为 $R$ 的圆弧 $x^2+y^2=R^2(y⩾0)$，直线动点到圆弧动点的距离存在最小值的充要条件为：圆心到直线的垂足 $P_0\left(\frac{-AC}{A^2+B^2},\frac{-BC}{A^2+B^2}\right)$ 的横坐标满足该射线的定义域限制。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2008-江苏卷-20 解-绝对值分段函数