2023-天津卷-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与公比，以及等比数列的前n项和。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2S_n+2$，则 $a_4$ 的值为 (　)

A. 3　　　　　　　B. 18　　　　　　　C. 54　　　　　　　D. 152

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一： 利用等比数列的性质，通过 $a_1,a_2,a_3$ 建立关于 $a_1$ 和 $q$ 的方程组。

2. 方法二： 利用 $a_{n+1}=2S_n+2$ 与 $a_n=2S_{n-1}+2$ 作差，快速求出公比 $q$，再求首项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一（基本量法）：

1. 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q(q\ne 0)$。

2. 由 $a_{n+1}=2S_n+2$ 得：

   • 当 $n=1$ 时，$a_2=2S_1+2=2a_1+2$。

   • 当 $n=2$ 时，$a_3=2S_2+2=2(a_1+a_2)+2$。

3. 将 $a_2=2a_1+2$ 代入 $a_3$ 的表达式中：

   $a_3=2(a_1+2a_1+2)+2=2(3a_1+2)+2=6a_1+6$。

4. 根据等比数列中项性质：$a_2^2=a_1\cdot a_3$。

   $(2a_1+2{)}^2=a_1(6a_1+6)$

   $4a_1^2+8a_1+4=6a_1^2+6a_1$

   整理得：$2a_1^2-2a_1-4=0\Rightarrow a_1^2-a_1-2=0$。

   解得 $a_1=2$ 或 $a_1=-1$。

5. 检验：

   • 若 $a_1=-1$，则 $a_2=2(-1)+2=0$，不符合等比数列项不为 0 的定义，舍去。

   • 若 $a_1=2$，则 $a_2=2(2)+2=6$，公比 $q=\frac{6}{2}=3$。

6. 计算 $a_4$：

   $a_4=a_1\cdot q^3=2\times 3^3=2\times 27=54$。

解法二（作差法）：

1. 已知 $a_{n+1}=2S_n+2$ ①

   则有 $a_{n+2}=2S_{n+1}+2$ ②

2. ② - ① 得：

   $a_{n+2}-a_{n+1}=2(S_{n+1}-S_n)=2a_{n+1}$。

   所以 $a_{n+2}=3a_{n+1}$，即公比 $q=3$。

3. 由 $a_2=2a_1+2$ 且 $a_2=q{a}_1=3a_1$ 得：

   $3a_1=2a_1+2\Rightarrow a_1=2$。

4. 计算 $a_4$：

   $a_4=a_1\cdot q^3=2\times 3^3=54$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列中前 $n$ 项和算子 $S_n$ 向单项通项 $a_n$ 的差分转化律、等比数列基本量方程的消元逻辑。
2. 核心方法：相邻项作差消和法、基本量代数代换法。
3. 避坑指南：

• 作差后漏掉首项或边界检验：在使用作差法时，必须注意由 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 导出的等比递推关系 $a_{n+2}=3a_{n+1}$ 默认在 $n⩾1$ 处激活，因此公比从第二项起必然成立。但在联立求解首项时，切记要回到原递推式的 $n=1$ 边界（即 $a_2=2S_1+2$）进行定量锚定，不能脱离初始边界盲目。
• 等比数列项为0的隐性陷阱：在解某些含有和式的二次方程时（如解法二若化为二次等式），如果解出首项或公比使得某项为 0，必须果断舍去，因为等比数列的定义强制约束 $a_n\ne 0,q\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考卷中关于等比数列递推的核心常考单选题。母题图谱直接源自人教A版教材《选择性必修第二册》第四章“等比数列前 $n$ 项和与通项的综合应用”的课后经典习题。命题意图在于测试学生处理指数组合递推式时的代数消元功底，属于区分机械背公式与理解公式本质的中档测试。
2. 结论推广： 对于更为普适的含有前 $n$ 项和的常系数非齐次线性递推模型： $a_{n+1}=A\cdot S_n+B(A\ne 0,A\ne -1)$ 通过完全相同的相邻项下标记法平移作差（② - ①），恒有： $a_{n+2}-a_{n+1}=A(S_{n+1}-S_n)=A\cdot a_{n+1}⟹a_{n+2}=(A+1)a_{n+1}$ 这表明，无论常数项 $B$ 取何值，该数列从第二项起，必然自发退化为一个公比恒为 $q=A+1$ 的标准等比数列。 在本题中，系数 $A=2$，直接套用推广结论可快速求解公比 $q=2+1=3$，结合首项方程即可实现对同类综合选择题的快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项