2023-天津卷-12 填-直线与圆抛物线

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及抛物线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知过原点 $O$ 的直线 $l$ 与圆 $(x+2{)}^2+y^2=3$ 相切，且 $l$ 与抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）交于 $O,A$ 两点。若 $|OA|=8$，则 $p=$ ______．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求直线的斜率： 直线过原点，设为 $y=kx$。利用点到直线的距离公式（圆心到直线的距离等于半径）求出 $k$。

2. 几何转化： 也可以通过直角三角形 $△OCD$（$D$ 为切点）求出直线的倾斜角。

3. 确定 $P$ 点坐标： 已知 $|OP|=8$ 且直线斜率已知，利用三角函数或模长公式求出点 $P$ 的坐标。

4. 代入抛物线方程： 将 $P$ 点坐标代入 $y^2=2px$，解出 $p$。

✅【答案】

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$p=6$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：解析法（代数计算）

第一步：设直线方程并求斜率

设过原点的直线为 $l:y=kx$，即 $kx-y=0$。

圆 $C$ 的圆心为 $(-2,0)$，半径 $r=\sqrt{3}$。

由直线与圆相切得：

$\frac{|-2k-0|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{3}$

两边平方：$4k^2=3(k^2+1)⟹k^2=3$。

取 $k=\sqrt{3}$（根据对称性，取正负不影响结果）。直线方程为 $y=\sqrt{3}x$。

第二步：求点 $P$ 坐标

设 $P(x_0,y_0)$。因为 $P$ 在直线 $y=\sqrt{3}x$ 上且 $|OP|=8$：

$x_0^2+y_0^2=x_0^2+(\sqrt{3}{x}_0{)}^2=4x_0^2=8^2=64$

解得 $x_0^2=16$。由于 $y^2=2px$ 中 $x$ 必须 $\ge 0$（因为 $p>0$），取 $x_0=4$。

则 $y_0=4\sqrt{3}$。

第三步：求 $p$ 值

将 $P(4,4\sqrt{3})$ 代入抛物线方程 $y^2=2px$：

(4\sqrt{3})^2 = 2 \cdot p \cdot 4$$$$48 = 8p \implies p = 6

解法二：几何法（数形结合）

第一步：求倾斜角

设直线与圆相切于点 $D$，连接 $CD$。在 $Rt△OCD$ 中，$OC=2$，$CD=\sqrt{3}$。

则 $\sin (\angle COD)=\frac{CD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

所以倾斜角 $\alpha =60^{\circ }$（或 $120^{\circ }$）。

第二步：利用极坐标思想确定 $P$

因为 $|OP|=8$，则点 $P$ 的横坐标 $x_P=|OP|\cos 60^{\circ }=8\times \frac{1}{2}=4$。

纵坐标 $y_P=|OP|\sin 60^{\circ }=8\times \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。

第三步：代入方程

代入 $y^2=2px$ 得 $48=8p$，故 $p=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 切线处理技巧： 处理直线与圆相切时，“圆心到直线的距离等于半径”通常比联立方程判别式 $\Delta =0$ 更简便。

2. 数形结合： 观察到圆心在 $x$ 轴上且直线过原点，利用特殊的直角三角形（$1:\sqrt{3}:2$）可以极快地锁定角度，避免繁琐的代数运算。

3. 细节注意： 抛物线开口向右（$p>0$），故 $P$ 点必在第一或第四象限，横坐标为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考数学卷填空题中的解析几何常规考题。母题构型融合了人教A版教材《选择性必修第一册》中关于“直线与圆的切线长性质”以及“抛物线的标准方程”两节的课后综合大练习题。命题立意极好，旨在考查考生跨章节知识点的级联整合能力。
2. 结论推广： 在平面解析几何中，本题可推广为一个通用的**“圆切线控制抛物线基本参量模型”**： 设圆心在 $x$ 轴上的圆方程为 $(x+R_0{)}^2+y^2=R^2(|R_0|>R>0)$。过原点作该圆的切线，其切线的倾斜角 $\alpha$ 由初等三角几何恒满足 $\sin \alpha =\frac{R}{|R_0|}$。 若该切线交抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$，且已知长度为 $|OP|=L$。 则点 $P$ 的横、纵坐标可直接用特征量参数化表出： $x_P=L\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^2},y_P=L\cdot \frac{R}{|R_0|}$ 代入抛物线方程，可导出参数 $p$ 的普适定值公式： $p=\frac{y_P^2}{2x_P}=\frac{L\cdot R^2}{2R_0^2\sqrt{1-{\left(\frac{R}{R_0}\right)}^2}}$ 本题中将 $R_0=-2,R=\sqrt{3},L=8$ 代入此推广公式中： $p=\frac{8\times 3}{2\times 4\times \sqrt{1-\frac{3}{4}}}=\frac{24}{8\times \frac{1}{2}}=6$ 内化这一射影比例通式，可以在后续面对同类直线穿插多曲线的填空压轴题时，直接跳过建系与代数联立，实现客观结论的快速求解验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率
• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义