本题导读
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及分层抽样与全概率加权平均。
📌【题干】
Question
（2023年天津卷）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外没有其他差异）放进三个空箱子中。三个箱子中的球数之比为 ，且其中的黑球比例依次为 ，，。若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ______；若把所有球放在一起，然后随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ______．
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一空（独立事件）： “从三个盒子中各取一个球”意味着三个取球动作是相互独立的。计算出每个盒子取到黑球的概率，然后相乘即可。
- 第二空（混合概率）： “混合后任取一个球”属于古典概型。需要算出三个盒子中白球的总数，再除以三个盒子中球的总总数。这里可以使用参数法（设总数为 ）或者权数法。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
第一步：设定各盒球数（参数法）
设甲、乙、丙三个盒子中的球的总数分别为 ，则总球数为 。
根据题意，计算各盒中黑球和白球的数量：
- 甲盒：
- 黑球数：
- 白球数：
- 乙盒：
- 黑球数：
- 白球数：
- 丙盒：
- 黑球数：
- 白球数：
第二步：计算三个球都是黑球的概率
从三个盒子中各取一个球，取到黑球的概率分别是：
因为是独立取球，所以三个球都是黑球的概率为：
第三步：计算混合后取到白球的概率
混合后：
- 白球总数
- 总球数
则取到白球的概率为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：独立重复试验与古典概型在样本空间构成上的实质差异、基于加权平均的思想求全概率。
- 核心方法：特殊值赋值化简法、独立事件概率乘法原理。
- 避坑指南：
- 混淆“分步”与“分类”算理：第一空是分步动作（各取一个），用乘法；第二空是打破边界合并重组，不能直接将各盒的白球概率进行简单加和或平均，必须通过总体数量求商。
- 第二空计算白球时看错黑白比例：题目给出的是黑球比例，求第二空时目标是白球，注意及时转换为对立事件的概率（）再乘以权重，防止因审题不细导致结果算成黑球概率 。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：
本题属于高考概率统计板块的中档填空题。母题构型直接来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第七章“全概率公式与独立性”的引例及课后习题。命题立意在于考查考生对概率基本事件空间变动的理解，属于经典的统计应用题。
- 结论推广：
本题第二空的代数本质等价于高等数学及概率论中的**全概率公式（Theorem of Total Probability）**的离散权数表达。
设全集由 个互斥的子层 构成，各层在总体中所占的结构权重为 。若已知某事件 在各子层中的条件概率为 ，则事件 在总体中发生的总概率满足加权平均通式：
在本题第二空中：各层总数之比为 ，对应的权重分别为 。各层白球的条件概率分别为 。直接带入通式：
熟练内化此全概率加权模型，在后续面对更复杂的分层多样本合并概率问题时，可免去具体数值的设定，直接实现单行表达式的快速。
🔗【关联脉络】
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