2023-天津卷-15 填-分段函数零点

本题导读

本题考查分段函数。核心在于分类讨论法（针对绝对值内式判别式）、零点区间合规性验证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）设 $a\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=a{x}^2-2x-|x^2-ax+1|$。若 $f(x)$ 恰有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 ______．

🔍【思路分析】

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本题的核心在于去掉绝对值符号。由于绝对值内部是关于 $x$ 的二次式 $x^2-ax+1$ ，其符号取决于判别式 ${\Delta }_0=a^2-4$ 。

1. 当 $a=0$ 时： 直接代入函数式，判断零点个数。

2. 当 $a^2-4\le 0$（即 $-2\le a\le 2$）时： 绝对值内的二次式恒非负或只有一个零点。此时 $f(x)$ 简化为一个单一的二次函数（或一次函数），计算其零点个数。

3. 当 $a^2-4>0$（即 $a>2$ 或 $a<-2$）时： 绝对值内二次式有两个不等实根，函数变为分段函数。需分别讨论各段区间内的零点，并验证零点是否落在定义的区间内。

✅【答案】

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$a\in (-\infty ,0)\cup (0,1)\cup (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

情况一：当 $a=0$ 时

$f(x)=-2x-|x^2+1|$ 。

由于 $x^2+1>0$ ，则 $f(x)=-2x-x^2-1=-(x+1{)}^2$ 。

令 $f(x)=0$ ，解得 $x=-1$ （重根）。此时只有一个零点，不满足题意。

情况二：当 ${\Delta }_0=a^2-4\le 0$ 时（且 $a\ne 0$）

即 $a\in [-2,0)\cup (0,2]$ 。

此时 $x^2-ax+1\ge 0$ 恒成立，所以：

$f(x)=a{x}^2-2x-(x^2-ax+1)=(a-1)x^2+(a-2)x-1$

• 若 $a=1$ ： $f(x)=-x-1$ ，只有一个零点 $x=-1$ ，不满足题意。

• 若 $a\ne 1$ ： 这是一个二次函数，其零点判别式为：

  $\Delta =(a-2{)}^2-4(a-1)(-1)=a^2-4a+4+4a-4=a^2$

  因为 $a\ne 0$ ，所以 $\Delta >0$ 恒成立。

  由于 ${\Delta }_0\le 0$ 保证了绝对值内永远为正，所以所得的两个实根一定是 $f(x)$ 的有效零点。

  结论：$a\in [-2,0)\cup (0,1)\cup (1,2]$ 均满足题意。

情况三：当 ${\Delta }_0=a^2-4>0$ 时

即 $a\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$ 。

设 $x^2-ax+1=0$ 的两个根为 $m,n$ ($m<n$)。

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(a-1)x^2+(a-2)x-1,& x\in (-\infty ,m]\cup [n,+\infty )\\ (a+1)x^2-(a+2)x+1,& x\in (m,n)\end{array}$

• 在外侧区间： $f(x)=[(a-1)x-1](x+1)=0⟹x=\frac{1}{a-1}$ 或 $x=-1$ 。

• 在内侧区间： $f(x)=[(a+1)x-1](x-1)=0⟹x=\frac{1}{a+1}$ 或 $x=1$ 。

以 $a>2$ 为例验证：

• 验证 $x=-1$ 和 $x=1$ ：

  把 $x=-1$ 代入内式：$(-1{)}^2-a(-1)+1=a+2>0$ ，故 $x=-1$ 在外侧，是有效零点。

  把 $x=1$ 代入内式：$1^2-a(1)+1=2-a<0$ ，故 $x=1$ 在内侧，是有效零点。

• 验证 $x=\frac{1}{a-1}$ 和 $x=\frac{1}{a+1}$ ：

  通过代入检查发现，这两个根都不在其所属的定义域区间内（即计算绝对值内二次式的值，符号不匹配）。

• 结论：当 $|a|>2$ 时，零点恰好只有 $1$ 和 $-1$ 两个。均满足题意。

综合上述所有情况：

$a\in (-\infty ,0)\cup (0,1)\cup (1,+\infty )$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值算子在二次多项式下的变号判别法则、二次方程因式分解后的隐性区间域限制、全称参数空间的并集重组。
2. 核心方法：判别式分类讨论法、根位置代入符号检验法。
3. 避坑指南：

• 分段求根后不进行区间校验（最大翻车点）：大量考生在情况三中，一看到两段分别解出两个根，合起来总共 4 个根，就盲目认为零点个数是 4，从而把 $|a|>2$ 的范围全部扔掉。必须牢记分段函数的根只有在属于自己的定义域内才具有生命力，通过代回 $g(x)$ 验符号是必备的防翻车手段。
• 特殊值 $a=0,a=1$ 漏掉剔除：在处理判别式 ${\Delta }_0⩽0$ 时，容易忽略二次项系数化为 0 及判别式为 0 导致根退化的特殊临界点。考场上应对这类特殊整数值保持高度敏感。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题作为天津高考卷填空题的终极压轴题，极具辨析深度。母题根源于教材中关于“含绝对值的二次方程根的个数讨论”的经典思考题。命题立意极其深远，彻底抛弃了可以通过死记硬背公式或套用模板过关的陈旧体制，纯粹考查考生在复杂分式、多分支变量面前，逻辑推导的严密性与运算的抗压能力，是一道极高品质的思维选拔题。
2. 结论推广： 在高等数学与实分析中，此类问题本质上属于非光滑分析（Nonsmooth Analysis）中的分段代数零点计数。 我们可以将本题推广为一个通用的**“绝对值二次剪切零点模型”**： 对于函数 $F(x)=a{x}^2-bx-|x^2-ax+c|$，其零点的几何本质是两条二次曲线 $Y_1=(a-1)x^2+(a-b)x-c$ 与 $Y_2=(a+1)x^2-(a+b)x+c$ 在绝对值激活区间内的有效交点。 当满足特定的对称或特殊常数项（如本题 $b=2,c=1$）时，无论参数 $a$ 如何越过临界点 $\pm 2\sqrt{c}$，其通过定义域严格筛选后的局域变号有效根的总数，在测度上展现出刚性的数量平稳性（恒为 2 个）。 熟练内化这一“符号代回检验机制”，在后续面对任何带有绝对值的函数零点或曲线交点大题时，均可通过快速抓取临界参数和边界符号，实现简化处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-陕西卷理-08 单-分段函数
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性