2023-新高考II卷-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）在复平面内，$(1+3\text{i})(3-\text{i})$ 对应的点位于（ ）

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 利用复数乘法分配律展开代数式。
2. 应用 ${\text{i}}^2=-1$ 化简为标准形式 $a+b\text{i}$。
3. 提取实部和虚部确定坐标 $(a,b)$，判定所在象限。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据复数乘法法则展开并化简： $(1+3\text{i})(3-\text{i})=3-\text{i}+9\text{i}-3{\text{i}}^2$

由于 ${\text{i}}^2=-1$，代入得： $=3+8\text{i}-3(-1)$ $=6+8\text{i}$

该复数的实部为 6，虚部为 8，其在复平面内对应的点坐标为 $(6,8)$。 因横坐标 $6>0$ 且纵坐标 $8>0$，故该点位于第一象限。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘法法则、复数的几何意义（坐标表示）。
2. 核心方法：代数展开化简法。
3. 避坑指南：展开计算时需注意 ${\text{i}}^2=-1$ 引起的符号改变，避免实部计算错误。确定坐标时，虚部为实数分量，不包含 $\text{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查复数基础代数运算与几何意义的对应关系，属于高考常规基础运算题。
2. 结论推广：复数运算结果均可映射至复平面进行几何定位。若遇到除法变式，如求 $\frac{1+3\text{i}}{3-\text{i}}$ 对应点的象限，可通过分子分母同乘分母的共轭复数 $(3+\text{i})$ 化简，结果为 $\text{i}$，对应点 $(0,1)$ 位于 $y$ 轴正半轴。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算
• 2014-新课标II卷理-02 单-复平面与对应点
• 2013-北京卷理-02 单-复数的乘法与乘方