2023-新高考II卷-07 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查二倍角的正弦与余弦公式，以及半角公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知 $\alpha$ 为锐角，$\cos \alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，则 $\sin \frac{\alpha }{2}=$（ ）

A. $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$　　　　B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$　　　　C. $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$　　　　D. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角余弦变形公式 $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$（即半角公式）。
2. 代入计算出 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ 的值。
3. 利用配方法对双重根号进行化简，结合 $\alpha$ 的范围确定符号。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\cos \alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{4}$。 由二倍角余弦公式 $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$ 变形可得： ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$

代入 $\cos \alpha$ 的值： ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{8}$

为化简双重根号，将分子分母同乘 2 构造完全平方式： ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{16}$

因为 $\alpha$ 为锐角，即 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $0<\frac{\alpha }{2}<\frac{\pi }{4}$， 故 $\sin \frac{\alpha }{2}>0$。

两边开平方得： $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：半角公式 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}$、双重根式的配方化简。
2. 核心方法：公式代入法、配方法。
3. 避坑指南：处理根式 $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ 时，通过分子分母同乘 2 凑出 $2ab$ 项是双重根号化简的常规技巧；开平方时必须根据角所在区间判定正负号，避免错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角恒等变换基础运算能力。题中给出的 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ 实际上是 $\cos 36^{\circ }$ 的精确值，而求得的 $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ 是 $\sin 18^{\circ }$ 的精确值，具有正五边形与黄金分割的几何背景。
2. 结论推广：化简双重根式 $\sqrt{a\pm \sqrt{b}}$ 的通用策略是凑完全平方，即转化为 $\sqrt{m^2+n^2\pm 2mn}=|m\pm n|$。熟记 $18^{\circ }$、$36^{\circ }$ 系列特殊角的三角函数值，有助于提高对此类代数式的直觉判定速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2007-山东卷理-05 单-正弦型函数周期最值