2007-山东卷理-05 单-正弦型函数周期最值

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角函数的性质。通过处理异名且不同角的三角函数相加问题，考查利用和差公式或诱导公式进行齐名、齐角转化的能力，以及求解正弦型函数周期和最值的基本功。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的最小正周期和最大值分别为()

A. $\pi ,1$　　　　　　B. $\pi ,\sqrt{2}$　　　　　　C. $2\pi ,1$　　　　　　D. $2\pi ,\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察已知结构，可将两个三角函数均通过两角和公式展开，合并同类项进行化简。

2. 化简后得到单一的三角函数，直接利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 与振幅读取答案。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将原函数解析式利用两角和与差的公式展开： $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x$ $\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}-\sin 2x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ 将上述两式相加合并同类项，得： $y=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)+\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)=\cos 2x$ 因为 $y=\cos 2x$， 所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，最大值为 1． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦与余弦公式，余弦函数的周期与最值。

2. 核心方法：化异为同的整体化简法（或两角和公式的展开合并）。

3. 避坑指南：余弦两角和公式展开时，中间符号为负号（$\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$），极易因粗心记错符号导致化简错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题依托于教材中三角恒等变换的基础公式演练，属于将两角和公式与三角函数图象性质相结合的经典常规题。

5. 结论推广：对于形如 $y=A\sin (\omega x+{\varphi }_1)+B\cos (\omega x+{\varphi }_2)$ 的函数，其最小正周期恒为 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，最大值可通过化简为单的一角一名的三角函数后直接得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积