2023-新高考II卷-19 解-概率综合

本题导读

本题考查频率分布直方图。核心在于面积比例法、分段函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异。经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$。假设数据在组内均匀分布，以频率作为概率。

(1) 当漏诊率 $p(c)=0.5\%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$；

(2) 设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$，当 $c\in [95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（反求 $c$）：

• 理解 $p(c)$：漏诊率对应患病者直方图中指标 $⩽c$ 的矩形面积。
• 确定区间：观察患病者直方图，确定 $0.5\%$ 对应的 $c$ 落在哪一个组内。
• 计算 $q(c)$：误诊率对应未患病者直方图中指标 $>c$ 的矩形面积。

2. 第二问（函数模型）：

• 分段建立解析式：由于两个直方图的组限和频率不同，在 $c=100$ 处存在分界。需要分 $95⩽c⩽100$ 和 $100<c⩽105$ 两段分别列出 $p(c)$ 和 $q(c)$ 的表达式。
• 利用单调性求最值：观察每一段一次函数的斜率，判定增减性，从而确定在分界点或端点处的最小值。

✅【答案】

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(1) $c=97.5$，$q(c)=3.5\%$

(2) $f(c)$ 的最小值为 $0.02$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $p(c)=0.5\%$ 时，求 $c$ 和 $q(c)$： 观察患病者（左图）频率分布直方图： 指标在 $[95,100]$ 的频率为 $5\times 0.002=0.01=1\%$。 因为 $p(c)=0.5\%<1\%$，所以 $c$ 落在区间 $[95,100]$ 内。 由 $(c-95)\times 0.002=0.005$ 得： $c-95=2.5⟹c=97.5$。 再看未患病者（右图）频率分布直方图： $q(c)=P(指标>97.5)=(100-97.5)\times 0.01+5\times 0.002$ $q(c)=2.5\times 0.01+0.01=0.025+0.01=0.035=3.5\%$。 故 $c=97.5$，$q(c)=3.5\%$。

(2) 求 $f(c)$ 的解析式及最小值： ① 当 $c\in [95,100]$ 时： $p(c)=(c-95)\times 0.002=0.002c-0.19$ $q(c)=(100-c)\times 0.01+5\times 0.002=1.01-0.01c$ $f(c)=(0.002c-0.19)+(1.01-0.01c)=-0.008c+0.82$。 此段斜率为 $-0.008<0$，函数单调递减。 当 $c=100$ 时，$f(100)=-0.8+0.82=0.02$。

② 当 $c\in (100,105]$ 时： $p(c)=5\times 0.002+(c-100)\times 0.012=0.012c-1.19$ $q(c)=(105-c)\times 0.002=0.21-0.002c$ $f(c)=(0.012c-1.19)+(0.21-0.002c)=0.01c-0.98$。 此段斜率为 $0.01>0$，函数单调递增。 当 $c\to 100$ 时，$f(c)\to 0.02$。

综上所述： $f(c)=\{\begin{array}{ll}-0.008c+0.82,& 95⩽c⩽100\\ 0.01c-0.98,& 100<c⩽105\end{array}$ 由单调性可知，$f(c)$ 在 $c=100$ 处取得最小值。 $f(100)=0.02$。 故 $f(c)$ 的最小值为 $0.02$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图的性质、概率的面积意义、分段函数的构建与最值求法。
2. 核心方法：面积比例法、分段函数法。
3. 避坑指南：计算频率时必须用“组距 $\times$ 纵坐标”，切忌直接取纵坐标数值作为概率。建立分段函数时，务必仔细对照直方图中的组限（以 100 为分界），分别列出左右两侧对应面积的代数表达式，并确基础段点处的连续性验证（本题在 $c=100$ 处 $f(c)=0.02$ 衔接）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以现代医学统计中的真实场景（阈值选定、敏感度与特异度分析）为背景，考查概率论在实际决策和方案优化中的应用。
2. 结论推广：此类“寻找最佳诊断临界值”的模型，本质上是寻找两条累积分布函数交叉作用下风险总和的最低点。若现实中漏诊和误诊带来的损失权重不同，目标函数可推广为 $g(c)=\alpha p(c)+\beta q(c)$（$\alpha ,\beta$ 为权重因子），此时极值点将根据权重的改变发生偏移。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-18 解-迷宫行走概率
• 2011-四川卷文-17 解-分段费用独立事件
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数