2023-新高考I卷-06 单-直线和圆

本题导读

本题考查圆的标准方程与几何性质，以及二倍角的正弦与余弦公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$，则 $\sin \alpha =$ （ ）

A. $1$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{15}}{4}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{10}}{4}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 配方求出圆心 $C$ 与半径 $r$。
2. 构造由圆心 $C$、圆外点 $P$ 及切点 $A$ 组成的直角三角形 $\text{Rt}△PAC$。
3. 利用距离公式求出斜边 $|PC|$，结合勾股定理求出直角边 $|PA|$。
4. 设半角 $\frac{\alpha }{2}=\angle APC$，求出其正余弦值，代入二倍角公式计算 $\sin \alpha$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何性质构造与二倍角变换法

第一步：配方求圆心与半径 圆的一般方程 $x^2+y^2-4x-1=0$ 配方为： $(x-2{)}^2+y^2=5$ 得到圆心 $C(2,0)$，半径 $r=\sqrt{5}$。

第二步：计算线段长度 设定点为 $P(0,-2)$，设切点为 $A$。连结 $PC,AC$。 根据切线性质， $AC\perp PA$，构成直角三角形 $\text{Rt}△PAC$。

计算斜边 $|PC|$： $|PC|=\sqrt{(2-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ 已知直角边 $|AC|=r=\sqrt{5}$。 由勾股定理求得另一条直角边 $|PA|$： $|PA|=\sqrt{|PC{|}^2-|AC{|}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{8-5}=\sqrt{3}$

第三步：利用二倍角公式求值 由对称性，两切线夹角 $\alpha =2\angle APC$。设 $\frac{\alpha }{2}=\angle APC$。 在 $\text{Rt}△PAC$ 中： $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{|AC|}{|PC|}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$ $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{|PA|}{|PC|}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$ 代入正弦二倍角公式： $\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=2\times \frac{\sqrt{10}}{4}\times \frac{\sqrt{6}}{4}=2\times \frac{\sqrt{60}}{16}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

方法二：韦达定理与斜率公式结合法

第一步：设切线方程 设切线方程为 $y-(-2)=k(x-0)$，即 $kx-y-2=0$。

第二步：利用点到直线距离公式 圆心 $C(2,0)$ 到切线的距离等于半径 $r=\sqrt{5}$： $\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}$ 两边平方并化简： $\frac{4(k-1{)}^2}{k^2+1}=5⟹4k^2-8k+4=5k^2+5$ $k^2+8k+1=0$

第三步：代入韦达定理 设两切线斜率为 $k_1,k_2$，由韦达定理： $k_1+k_2=-8,k_1{k}_2=1$ $|k_1-k_2|=\sqrt{(k_1+k_2{)}^2-4k_1{k}_2}=\sqrt{64-4}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$ 两直线夹角 $\alpha$ 的正切值为： $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|=\frac{2\sqrt{15}}{1+1}=\sqrt{15}$ 由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得： $\sin \alpha =\frac{\tan \alpha }{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{1+15}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程快速配方、切线性质下 Rt$△$ 的几何构筑、点到直线距离公式的代数逆推、正弦二倍角公式 $2\sin \theta \cos \theta$ 的恒等演练。
2. 核心方法：数形结合几何法（方法一，极致推荐，能有效避免代数繁琐）、韦达定理斜率法（方法二，适合对几何图形不敏感时的考场保底通用武器）。
3. 避坑指南：

• 陷入直线方程联立的代数泥潭：很多基础不够扎实的考生在面对此题时，习惯性地去解方程 $k^2+8k+1=0$ 算两个丑陋的实数根 $k=-4\pm \sqrt{15}$，然后再去套用夹角公式，这会产生灾难级的根式代数化简量，在考场上极易耗尽宝贵的时间。请时刻牢记解析几何的圣经：能用韦达定理整体代入的，绝不单独求根；能用几何图形直观解决的，绝不盲目架设方程！
• 忽略斜率不存在的潜在死角：在启动方法二时，理论上要对斜率不存在（即垂直于 $x$ 轴的直线 $x=0$ ）进行单独清点。本题中由于圆心到 $x=0$ 的距离为 $2\ne \sqrt{5}$，判定其不是切线，故设 $y=kx-2$ 属于安全行为。但在规范解答题中，必须具备这层安全边界审查意识。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材必修第二册第六章《圆的方程》中直线与圆位置关系的综合课后复习题。作为新高考 I 卷的第 6 题，属于标准的“几何性质为主导，三角变换为滑梯”的优质融合客观题。
2. 结论推广：在高考高级数形结合变构中，圆的切线夹角问题常常会升级为**“求切点弦 $AB$ 的绝对长度”。掌握了本题方法一中的直角三角形骨架，由于 $PC\perp AB$，我们直接在 Rt$△PAC$ 中利用面积割补法（直角边 $\times$ 直角边 $=$ 斜边 $\times$ 斜边上的高）**，求出垂线段的一半 $\frac{|AB|}{2}=\frac{r\cdot |PA|}{|PC|}=\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}}{4}⟹|AB|=\frac{\sqrt{30}}{2}$。掌握了这层直角三角形的体现互译，可以做到对所有圆的切线创新题的无痛快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率