2015-新课标II卷理-07 单-圆的方程

本题导读

本题考查求圆的方程以及圆的几何性质。核心在于通过已知三点求出圆的一般方程，再结合 $y$ 轴的代数特征（$x=0$）求出交点坐标及弦长。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 过三点 $A(1,3)$，$B(4,2)$，$C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M,N$ 两点，则 $|MN|=$ ()

A. $2\sqrt{6}$　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. $4\sqrt{6}$　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 求圆的方程：设圆的一般方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。将 $A,B,C$ 三点坐标代入，利用待定系数法求出 $D,E,F$。
2. 确定与 $y$ 轴的交点：令 $x=0$，得到关于 $y$ 的一元二次方程。
3. 计算弦长：求出 $y$ 的两个根 $y_1,y_2$，则弦长 $|MN|=|y_1-y_2|$；或者利用韦达定理 $|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆的一般方程 设圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。 将 $A(1,3)$，$B(4,2)$，$C(1,-7)$ 代入：

$$\{\begin{array}{l}{1}^2+3^2+D+3E+F=0\\ 4^2+2^2+4D+2E+F=0\\ 1^2+(-7{)}^2+D-7E+F=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}D+3E+F=-10\\ 4D+2E+F=-20\\ D-7E+F=-50\end{array}$$

解此三元一次方程组： 由(1) - (3)得：$10E=40⟹E=4$。 代入(1)和(2)得：

$$\{\begin{array}{l}D+F=-22\\ 4D+F=-28\end{array}$$

相减得：$3D=-6⟹D=-2$。 代入得：$F=-20$。 所以圆的方程为：$x^2+y^2-2x+4y-20=0$。

第二步：求与 $y$ 轴的交点坐标 在 $y$ 轴上，$x=0$，代入圆方程得： $y^2+4y-20=0$ 解方程得： $y=\frac{-4\pm \sqrt{16-4(1)(-20)}}{2}=\frac{-4\pm \sqrt{96}}{2}=\frac{-4\pm 4\sqrt{6}}{2}=-2\pm 2\sqrt{6}$

第三步：计算弦长 $|MN|=|(-2+2\sqrt{6})-(-2-2\sqrt{6})|=4\sqrt{6}$

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的一般方程的确定；圆与坐标轴的交点问题。
• 核心方法：待定系数法是求过已知点的圆方程最通用的方法。
• 避坑指南：计算方程组时需细心。另外，求 $|MN|$ 也可以直接通过圆心 $(1,-2)$ 到 $y$ 轴距离 $d=1$ 及半径 $r=\sqrt{1^2+(-2{)}^2-(-20)}=5$ 利用勾股定理求得：$|MN|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25-1}=2\sqrt{24}=4\sqrt{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 坐标轴截圆所得弦长公式：$y$ 轴截得弦长为 $2\sqrt{(E/2{)}^2-F}$，$x$ 轴截得弦长为 $2\sqrt{(D/2{)}^2-F}$。 *方法推广: 几何法（勾股定理）通常比纯代数法（求根）计算量更小。

• 相关知识点：三点确定一个圆、点到直线的距离公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

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