2023-新高考I卷-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于三角恒等变换法、正弦定理代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知在 $△ABC$ 中，$A+B=3C$，$2\sin (A-C)=\sin B$。

(1) 求 $\sin A$；

(2) 设 $AB=5$，求 $AB$ 边上的高。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解 $\sin A$：利用三角形内角和定理 $A+B+C=\pi$ 与已知条件 $A+B=3C$ 联立，求出角 $C$ 的大小。利用 $\sin B=\sin (A+C)$ 将原等式转化为关于 $A,C$ 的等式，展开后化简求出 $\tan A$，再利用同角三角函数基本关系求出 $\sin A$。
2. 求解 $AB$ 边上的高：根据第 (1) 问的结果求出 $\cos A$ 与 $\sin B$。在 $△ABC$ 中，利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 求出边 $b$（即 $AC$）的长度。利用直角三角形中的三角函数关系 $h=b\sin A$ 求解高度。

✅【答案】

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(1) $\sin A=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $AB$ 边上的高为 $6$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解 $\sin A$： 在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$。 已知 $A+B=3C$，代入得 $3C+C=\pi ⟹4C=\pi ⟹C=\frac{\pi }{4}$。 由 $2\sin (A-C)=\sin B$ 及 $B=\pi -(A+C)$ 可知 $\sin B=\sin (A+C)$。 故 $2\sin (A-C)=\sin (A+C)$。 利用和差公式展开： $2(\sin A\cos C-\cos A\sin C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 整理得： $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$ 因为 $\cos C=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0$，两边约去得： $\sin A=3\cos A⟹\tan A=3$。 由于 $A\in (0,\pi )$ 且 $\tan A>0$，则 $A$ 为锐角。 利用 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$： $\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}=\frac{3}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。 故 $\sin A=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

(2) 求解 $AB$ 边上的高： 由 (1) 知 $\tan A=3$，则 $\cos A=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。 计算 $\sin B$： $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ $\sin B=\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{10}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{20}}{20}+\frac{\sqrt{20}}{20}=\frac{4\sqrt{20}}{20}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{20}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

在 $△ABC$ 中，$c=AB=5$，$C=\frac{\pi }{4}$。由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 得： $b=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{5\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{10}$。 设 $AB$ 边上的高为 $h$，在直角三角形中： $h=b\sin A=2\sqrt{10}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=6$。 故 $AB$ 边上的高为 $6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形内角和定理的转化、两角和与差的正弦公式、同角三角函数基本关系、正弦定理。
2. 核心方法：通过已知等式构造齐次式求解 $\tan A$（弦切互化），利用基本图形关系 $h=b\sin A$ 求解高。
3. 避坑指南：

• 求 $\sin A$ 时，由 $\sin A=3\cos A$ 转化为 $\tan A=3$，需验证 $\cos A\ne 0$ 以保证等式变换的严密性。
• 计算过程中包含较多无理数运算，代入公式时应注意分子分母的根号化简，防止算术错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查高中数学解三角形板块的标准方法，主要测试运算求解能力。
2. 结论推广：在解三角形问题中，若已知条件为三角函数方程，通常先利用 $A+B+C=\pi$ 减少变量，再展开化简求出某一个内角的正切值，最后结合正余弦定理完成边角转换。求三角形的高常有两种路径：一是直接利用对应边与正弦值（$h_c=b\sin A$ 或 $h_c=a\sin B$）；二是利用面积公式逆推（$h_c=\frac{2S}{c}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2022-乙卷文-17 解-解三角形
• 2008-四川卷文-07 单-正弦定理倍角条件
• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形