2022-乙卷文-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边角互化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$。

(1) 若 $A=2B$，求 $C$；

(2) 证明：$2a^2=b^2+c^2$.

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将角化为边，或利用三角形内角和定理将角进行转化化简。
2. 第(1)问中，代入 $A=2B$ 结合三角函数公式求解角 $B$ 和 $C$。
3. 第(2)问中，将已知条件展开并利用正弦定理转化为边长关系进行证明。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $\sin C=\sin (A+B)$，原式可化为： $\sin (A+B)\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$。 由 ${\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B=\sin B\sin (\pi -2A-B)=\sin B\sin (2A+B)$， 代入 $A=2B$，得 ${\sin }^2(2B)-{\sin }^{2}B=\sin B\sin (5B)$。 利用正弦定理边角关系可证得 $2a^2=b^2+c^2$，即 $2{\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$。 代入 $A=2B$ 及 $C=\pi -3B$，得 $2{\sin }^2(2B)={\sin }^{2}B+{\sin }^2(3B)$。 即 $8{\sin }^{2}B{\cos }^{2}B={\sin }^{2}B+(3\sin B-4{\sin }^{3}B{)}^2$。 化简得 $8{\sin }^{4}B-8{\sin }^{2}B+1=0$，解得 ${\sin }^{2}B=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$（舍去较大根）。 从而 $\sin B=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，结合 $0<B<\frac{\pi }{3}$ 得 $B=\frac{\pi }{8}$。 故 $A=\frac{\pi }{4}$，$C=\pi -\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{8}=\frac{5\pi }{8}$。

(2) 证明： 由已知 $\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin (C-A)$， 展开得 $\sin C(\sin A\cos B-\cos A\sin B)=\sin B(\sin C\cos A-\cos C\sin A)$ $\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$ 移项得 $\sin C\sin A\cos B+\sin B\cos C\sin A=2\sin B\sin C\cos A$ 两边同除以 $\sin A\sin B\sin C$ 得： $\cot B+\cot C=2\cot A$。 将其转化为正弦、余弦： $\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{2\cos A}{\sin A}⟹\frac{\sin (B+C)}{\sin B\sin C}=\frac{2\cos A}{\sin A}$。 因为 $\sin (B+C)=\sin A$，故 $\frac{\sin A}{\sin B\sin C}=\frac{2\cos A}{\sin A}⟹{\sin }^{2}A=2\sin B\sin C\cos A$。 由余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 及正弦定理 $\sin A=\frac{a}{2R}$ 等， 可得 $a^2=2\cdot b\cdot c\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=b^2+c^2-a^2$， 即 $2a^2=b^2+c^2$。证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理、三角恒等变换。
2. 核心方法：边角互化法。
3. 避坑指南：注意角的取值范围及增根的舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形压轴题。
2. 结论推广：三角形中角的关系与边长平方关系的一般转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-17 解-解三角形
• 2024-北京卷-16 解-解三角形
• 2024-新高考II卷-15 解-解三角形