2023-新高考I卷-18 解-立体几何综合

本题导读

本题考查空间直角坐标系。核心在于空间向量法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ 。点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1, B B_{2} = D D_{2} = 2, C C_{2} = 3$ 。

(1) 证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

(2) 点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $15 0^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ 。

🔍【思路分析】

破题导航

建立坐标系：以点 $C$ 为坐标原点， $C D, C B, C C_{1}$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标。

证明线线平行（第1问）：计算向量 $B_{2} C_{2}$ 和 $A_{2} D_{2}$ 的坐标，证明两向量共线且无公共点。

求解动点位置（第2问）：设点 $P$ 坐标为 $(0, 2, λ)$ 。分别求出平面 $P A_{2} C_{2}$ 与平面 $A_{2} C_{2} D_{2}$ 的法向量。利用法向量的夹角余弦值与二面角余弦值的关系建立关于参数 $λ$ 的方程，解出 $λ$ 后计算距离。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $B_{2} P = 1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$

以 $C$ 为原点， $C D, C B, C C_{1}$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。根据题意可得各点坐标：

$C (0, 0, 0), C_{2} (0, 0, 3), B_{2} (0, 2, 2), D_{2} (2, 0, 2), A_{2} (2, 2, 1)$ 。计算向量： $B_{2} C_{2} = (0 - 0, 0 - 2, 3 - 2) = (0, - 2, 1)$ ； $A_{2} D_{2} = (2 - 2, 0 - 2, 2 - 1) = (0, - 2, 1)$ 。

因为 $B_{2} C_{2} = A_{2} D_{2}$ ，

所以 $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ 。

又因为 $B_{2}, C_{2}, A_{2}, D_{2}$ 四点不共线，

故 $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ 。

(2) 求解 $B_{2} P$ ：

设 $P (0, 2, λ)$ ，其中 $0 ⩽ λ ⩽ 4$ 。则 $A_{2} C_{2} = (- 2, - 2, 2)$ ， $P C_{2} = (0, - 2, 3 - λ)$ ， $D_{2} C_{2} = (- 2, 0, 1)$ 。

求平面 $P A_{2} C_{2}$ 的法向量 $n = (x, y, z)$ ： ${n \cdot A_{2} C_{2} = - 2 x - 2 y + 2 z = 0 n \cdot P C_{2} = - 2 y + (3 - λ) z = 0$ 令 $z = 2$ ，解得 $y = 3 - λ$ ， $x = λ - 1$ 。故 $n = (λ - 1, 3 - λ, 2)$ 。

求平面 $A_{2} C_{2} D_{2}$ 的法向量 $m = (a, b, c)$ ： ${m \cdot A_{2} C_{2} = - 2 a - 2 b + 2 c = 0 m \cdot D_{2} C_{2} = - 2 a + c = 0$ 令 $a = 1$ ，解得 $c = 2, b = 1$ 。故 $m = (1, 1, 2)$ 。

建立二面角方程：二面角为 $15 0^{\circ}$ ，其余弦值的绝对值为 $\frac{3}{2}$ 。 $∣ cos ⟨ n, m ⟩ ∣ = \frac{∣ ( λ - 1 ) + ( 3 - λ ) + 4∣}{( λ - 1 ) ^{2} + ( 3 - λ ) ^{2} + 2 ^{2} \cdot 1 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{6}{2 λ ^{2} - 8 λ + 14 \cdot 6} = \frac{3}{2}$

两边平方并整理：

$\frac{36}{6 ( 2 λ ^{2} - 8 λ + 14 )} = \frac{3}{4} ⟹ \frac{6}{2 λ ^{2} - 8 λ + 14} = \frac{3}{4}$ $24 = 6 λ^{2} - 24 λ + 42 ⟹ 6 λ^{2} - 24 λ + 18 = 0 ⟹ λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$ 。

解得 $λ = 1$ 或 $λ = 3$ 。

当 $λ = 1$ 时， $P (0, 2, 1)$ ， $B_{2} P = ∣2 - 1∣ = 1$ ；

当 $λ = 3$ 时， $P (0, 2, 3)$ ， $B_{2} P = ∣2 - 3∣ = 1$ 。

故 $B_{2} P = 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直角坐标系的建立、向量的坐标运算、待定系数法求法向量、二面角与法向量夹角的关系。

核心方法：将几何动点问题参数化，通过向量夹角公式转化为代数方程求解。

避坑指南：

求解法向量时，赋值应避免使整个法向量变为零向量。

二面角的平面角 $θ$ 与法向量的夹角 $α$ 满足 $θ = α$ 或 $θ = π - α$ 。直接利用余弦绝对值相等 $∣ cos θ ∣ = ∣ cos α ∣$ 建立方程最为稳妥。

解出参数后，需将其代入距离公式计算最终结果，并检验参数是否在给定的线段取值范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：此类题目是立体几何部分的常规考法，侧重考查空间向量在多面体动点问题中的应用。

结论推广：处理空间几何中的指定角度或距离的动点问题，核心逻辑均为“几何条件代数化”。即设出动点的坐标参数 $λ$ ，表达出相关的距离或向量，代入公式建立关于 $λ$ 的方程进行精确求解。此方法具有高度的普适性，可覆盖绝大多数立体几何压轴题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角

2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角

2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角

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2023-新高考I卷-18 解-立体几何综合

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