本题导读
本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 项和公式。
📌【题干】
Question
（2023年甲卷文）记 为等差数列 的前 项和. 若 ，，则 （ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析所求目标：等差数列前 项和 。求出 或基本量 即可。
- 利用性质化简已知条件：
- 由等差数列性质 ，可直接求得 。
- 将 代入 中，可直接求得 。
- 求解基本量与结果：
- 由 和 可求出公差 ，进而求出 。
- 亦可直接利用基本量法，设首项 和公差 列方程组联立求解。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
解法一：性质代换法（最优解） 设等差数列 的公差为 。 因为 是等差数列，根据等差中项性质有：
已知 ， 所以 。
又因为 ，将 代入得：
根据通项公式，有： 所以 。
由此可得：
根据等差数列求和公式及对称性：
故选：C。
解法二：基本量法 设等差数列 的首项为 ，公差为 。 由题意可列方程组：
化简第一个方程得：
将①代入第二个方程得：
将 代入①得：
进而求得前 项和为：
故选：C。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等差数列的通项公式、前 项和公式以及等差中项性质。
- 核心方法：
- 基本量法：即“知三求二”思想，将所有项用 和 表示，建立方程组求解。
- 性质法：利用 （当 时）进行整体代换，能极大减少运算量。
- 避坑指南：
- 在解方程时，注意分清题目中给出的是 还是 ，避免因看错运算符号导致误算。
- 求解 时，利用中项性质 比直接计算 更不易出错。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等差数列前 项和的常规计算题。属于高考对数列板块的基本运算考查，难度适中。
- 结论推广：
- 求和对称性推广：对于任何项数为奇数 的等差数列，其前 项的和恒满足 ，即等于项数乘以正中间的项。
- 下标和性质：若数列 为等差数列，其任意两项满足 并不恒成立（非等比数列），但在已知 和 时，其中点项 的平方关系满足 。
🔗【关联脉络】
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