2023-甲卷文-10 单-三棱锥体积

本题导读

本题考查空间几何体的体积计算（三棱锥），以及线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）在三棱锥 $P-ABC$ 中，$△ABC$ 是边长为 2 的等边三角形，$PA=PB=2$，$PC=\sqrt{6}$，则该三棱锥的体积为（ ）

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 寻找对称性与中点：由于 $PA=PB=2$，$△ABC$ 是边长为 2 的等边三角形，考虑取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $PO,CO$。
2. 证明线面垂直：

• 由等腰三角形与等边三角形性质，证明 $AB\perp PO$ 且 $AB\perp CO$，从而得出 $AB\perp \text{平面 }POC$。
• 进而得出平面 $POC\perp$ 平面 $ABC$。

3. 确定三棱锥的高：

• 在 $△POC$ 中，分别求出 $PO,CO,PC$ 的长度。
• 利用勾股定理逆定理判定 $PO\perp CO$，从而确立 $PO$ 垂直于底面 $△ABC$，即 $PO$ 为三棱锥 $P-ABC$ 的高。

4. 计算体积：代入锥体体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\times h$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

取 $AB$ 的中点为 $O$，连接 $PO,CO$。 因为 $PA=PB=2$， 所以 $△PAB$ 为等腰三角形，故 $PO\perp AB$。 由于 $AB=2$，则 $AO=1$。 在 Rt$△POA$ 中，由勾股定理得： $PO=\sqrt{P{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

因为 $△ABC$ 是边长为 2 的等边三角形， 所以 $CO\perp AB$。 同理在 Rt$△COA$ 中可得： $CO=\sqrt{A{C}^2-A{O}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

在 $△POC$ 中，$PO=\sqrt{3}$，$CO=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{6}$， 因为： $P{O}^2+C{O}^2=(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=3+3=6$ $P{C}^2=(\sqrt{6}{)}^2=6$ 所以 $P{O}^2+C{O}^2=P{C}^2$。 根据勾股定理逆定理可知，$△POC$ 是以 $PC$ 为斜边的直角三角形，即 $PO\perp CO$。

因为 $PO\perp AB$，$PO\perp CO$，且 $AB\cap CO=O$，$AB,CO\subset \text{平面 }ABC$， 根据线面垂直的判定定理可知： $PO\perp \text{平面 }ABC$ 即 $PO$ 为三棱锥 $P-ABC$ 绕底面 $ABC$ 的高，$h=PO=\sqrt{3}$。

底面等边 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

因此，该三棱锥的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△ABC}\times PO=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}=1$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥的体积公式、线面垂直的判定定理、勾股定理逆定理。
2. 核心方法：射影找高法。利用射影法和特殊三角形的几何特征（中线即高线）确定顶点在底面的体现位置。
3. 避坑指南：

• 无法准确确定高：立体几何体积问题切忌主观臆断某一侧棱（如 $PA$ 或 $PC$）为高，必须经过严谨的线面垂直证明。
• 边长关系看错：计算等边三角形面积和高时，需认清底边和中线各段的长度，避免将 $AO=1$ 记为 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于空间点、线、面位置关系及锥体体积计算的典型结构。常作为理科中档题或文科偏难选择题出现，重点考查空间想象力。
2. 结论推广：

• 等腰折叠模型的一般化：若三角形 $△ABC$ 与 $△PAB$ 拥有公共边 $AB$，且满足 $PA=PB$，$CA=CB$，则当将 $△PAB$ 沿 $AB$ 折起时，两顶点中点连线 $PO$ 与 $CO$ 恒与棱 $AB$ 垂直。
• 若折起后满足 $P{O}^2+C{O}^2=P{C}^2$，则表明二面角 $P-AB-C$ 为 $90^{\circ }$，即侧面与底面垂直，此时平面内垂直于交线的直线 $PO$ 即为整个几何体的高。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2024-北京卷-08 单-四棱锥高
• 1980-全国卷理-05