2023-甲卷文-14 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）若 $f(x)=(x-1{)}^2+ax+\sin (x+\frac{\pi }{2})$ 为偶函数，则 $a=$ ________．

🔍【思路分析】

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1. 解析式化简：首先利用三角函数的诱导公式 $\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$ 简化函数表达式。

2. 应用偶函数定义：根据偶函数满足 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 恒成立，列出关于 $a$ 的恒等式。

3. 对比系数或特殊值求解：通过展开多项式对比 $x$ 的奇次项系数（偶函数不含奇次项），或者代入特殊值（如 $x=1$）建立方程求解。

4. 快速判定（导数法）：若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则偶函数必满足 $f^{\prime }(0)=0$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

1. 化简解析式：

利用诱导公式 $\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$，原函数可化为：

$f(x)=(x-1{)}^2+ax+\cos x$

展开完全平方项：

$f(x)=x^2-2x+1+ax+\cos x=x^2+(a-2)x+1+\cos x$

2. 利用偶函数性质求解：

方法一：定义法（通法）

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以对任意 $x\in \mathbb{R}$，恒有 $f(-x)=f(x)$．

(-x)^2 + (a - 2)(-x) + 1 + \cos(-x) = x^2 + (a - 2)x + 1 + \cos x$$$$x^2 - (a - 2)x + 1 + \cos x = x^2 + (a - 2)x + 1 + \cos x

整理得：

$-(a-2)x=(a-2)x⟹2(a-2)x=0$

由于该式对任意 $x$ 恒成立，所以系数必须为 $0$：

$2(a-2)=0⟹a=2$

方法二：项特征判定法（快解）

函数 $f(x)=x^2+(a-2)x+1+\cos x$ 是偶函数。

观察各项：

• $x^2,1,\cos x$ 均为偶函数（或常数项）；

• $(a-2)x$ 为奇函数．

  若整体为偶函数，则奇函数部分的系数必须为 $0$：

  $a-2=0⟹a=2$

方法三：导数判定法（特值）

若 $f(x)$ 为偶函数且在 $x=0$ 处可导，则 $f^{\prime }(0)=0$．

$f^{\prime }(x)=2(x-1)+a-\sin x$

$f^{\prime }(0)=2(0-1)+a-\sin 0=-2+a=0⟹a=2$

3. 结论：

经校验，$a=2$ 时 $f(x)=x^2+1+\cos x$，显然为偶函数。

故答案填入 $2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式中的余名切换、偶函数的性质与代数项特征。
2. 核心方法：项特征判定法、定义法。
3. 避坑指南：

• 符号错漏：诱导公式变换时需遵循“奇变偶不变，符号看象限”，$x+\frac{\pi }{2}$ 在第二象限，正弦值为正，故 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=+\cos x$，不可错记为 $-\cos x$。
• 展开不全：展开 $(x-1{)}^2$ 时注意中间项 $-2x$ 必须与 $ax$ 合并为 $(a-2)x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将初等函数的奇偶性定义与三角恒等变换融合考查，为典型的填空题首题，着重考查基础概念的熟练度。
2. 结论推广：可导函数 $f(x)$ 的奇偶性与其导函数 $f^{\prime }(x)$ 的奇偶性具有相反性。若 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的可导偶函数，则 $f^{\prime }(x)$ 必为奇函数，从而必然隐含必要条件 $f^{\prime }(0)=0$。在处理填空、选择题中含有未知参数的复杂可导奇偶函数时，利用端点导数值（零点导数值）进行特值破题是极高的时间优化手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-05
• 1977-北京理-04
• 1983-全国卷理-04