2023-甲卷理-11 单-棱锥结构

本题导读

本题考查棱锥的结构特征，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）已知四棱锥 $P-ABCD$ 底面是边长为 $4$ 的正方形，$PC=PD=3,\angle PCA=45^{\circ }$，则 $△PBC$ 的面积为（）

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $3\sqrt{2}$　　　　　　　C. $4\sqrt{2}$　　　　　　　D. $6\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 挖掘对称性（关键突破口）：

   • 几何直观：底面是正方形，$PC=PD$ 意味着点 $P$ 在 $CD$ 的中垂面上。

   • 逻辑推导：通过全等三角形证明 $PA=PB$。由于 $AC=BD,PC=PD$，且底面对角线交点 $O$ 到各顶点距离相等，可推导出 $△PCA\cong △PDB$。

2. 定量计算边长：

   • 在 $△PAC$ 中，已知 $PC,AC$ 以及夹角 $\angle PCA=45^{\circ }$，利用余弦定理求出 $PA$ 的长。

   • 由对称性得 $PB=PA$。

3. 求解目标面积：

   • 确定 $△PBC$ 的三边长 $(PB,PC,BC)$。

   • 再次使用余弦定理求出 $\angle PCB$ 的余弦值，进而求正弦值。

   • 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 基础几何量准备：

底面 $ABCD$ 为边长为 $4$ 的正方形，其对角线 $AC=BD=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$．

2. 求解 $PA$ 的长度：

在 $△PAC$ 中，已知 $PC=3,AC=4\sqrt{2},\angle PCA=45^{\circ }$．

由余弦定理得：

PA^2 = AC^2 + PC^2 - 2AC \cdot PC \cos 45^\circ$$$$PA^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \times 4\sqrt{2} \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$PA^2 = 32 + 9 - 24 = 17

故 $PA=\sqrt{17}$．

3. 证明或求解 $PB$ 的长度：

方法一（几何全等法）：

连结 $AC,BD$ 交于 $O$．由于 $PC=PD$ 且 $OC=OD$，易得 $△POC\cong △POD$，故 $\angle PCO=\angle PDO$．

进而 $△PCA\cong △PDB$ (SAS，其中 $PC=PD,AC=BD$)．

故 $PB=PA=\sqrt{17}$．

方法二（空间向量法）：

设对角线交点为 $O$。根据向量的中点性质，有 $\overrightarrow{PO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD})$．

两边平方得：$P{A}^2+P{C}^2+2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}=P{B}^2+P{D}^2+2\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}$．

在 $△PAC$ 中，由余弦定理变形知 $2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}=P{A}^2+P{C}^2-A{C}^2=17+9-32=-6$．

在 $△PBD$ 中，同理 $2\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}=P{B}^2+P{D}^2-B{D}^2=P{B}^2+9-32=P{B}^2-23$．

代入平衡方程：$17+9-6=P{B}^2+9+(P{B}^2-23)⟹20=2P{B}^2-14⟹P{B}^2=17$．

故 $PB=\sqrt{17}$．

4. 计算 $△PBC$ 的面积：

在 $△PBC$ 中，边长 $BC=4,PC=3,PB=\sqrt{17}$．

设 $\angle PCB=\theta$，由余弦定理得：

$\cos \theta =\frac{P{C}^2+B{C}^2-P{B}^2}{2PC\cdot BC}=\frac{9+16-17}{2\times 3\times 4}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

因为 $\theta \in (0,\pi )$，故 $\sin \theta =\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

则 $S_{△PBC}=\frac{1}{2}PC\cdot BC\sin \theta =\frac{1}{2}\times 3\times 4\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$．

结论：

对应选项 C 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：棱锥结构中的特殊面（全等面、对称面）、跨平面线段传递、余弦定理解三角形。
2. 核心方法：空间向量中点平行四边形公式法、解三角形代数化简法。
3. 避坑指南：

• 直观臆断陷阱：侧面 $△PBC$ 并非直角三角形，切勿直接用 $\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$ 进行误判。
• 向量平方展开：使用向量法时，务必注意 $2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}$ 的符号。该项由余弦定理 $b^2+c^2-a^2$ 决定，本题中由于对角线较长，数量积为负，移项合并时需仔细核对符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将解三角形的工具性作用引入立体几何的非垂直模型中，考查空间多边形线段之间的内在代数制约，属于高得分率结构但具有一定运算量的选择压轴题。
2. 结论推广：在任意四棱锥 $P-ABCD$ 中，若底面 $ABCD$ 为平行四边形，对角线交于点 $O$，则由于 $O$ 为公共中点，空间任一点 $P$ 的顶角侧棱均满足四体恒等式：$P{A}^2+P{C}^2=P{B}^2+P{D}^2+2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PC}-2\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PD}$。当已知对角线长时，利用此关系可直接在两条异面侧棱长之间实现无障碍转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-福建卷理-10
• 2001-上海卷理-17 解-三角形面积公式
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列