2024-上海卷-08 填-全概率公式

本题导读

本题考查全概率公式，以及事件的独立性与条件概率。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）某校举办科学竞技比赛，有 A、B、C 三种题库，A 题库有 5000 道题，B 题库有 4000 道题，C 题库有 3000 道题.小申已完成所有题，他 A 题库的正确率是 0.92，B 题库的正确率是 0.86，C 题库的正确率是 0.72.现他从所有的题中随机选一题，则该题做对的概率是 ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 全概率公式思维（方法一）：总题量是不均等分布的。我们首先算出在总题库中抽到 A、B、C 各自的概率（即权重），接着利用全概率公式，将各个题库的“抽中概率”与“做对的条件概率”相乘后求和。
2. 总体频数统计思维（方法二）：直接依据各题库的题量和正确率，分别计算出小申在 A、B、C 三个题库中各自做对的“具体题目数量”，将做对的总题数加总，最后除以总题数 12000 即可。这种方法在草稿纸上算起来更直观且不易出错。

✅【答案】

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$0.85$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：全概率公式法（标准规范）

设“随机抽中一题属于 A 题库”为事件 $M_1$，“属于 B 题库”为事件 $M_2$，“属于 C 题库”为事件 $M_3$；设“小申做对该题”为最终事件 $R$。

第一步：计算抽中各题库的先验概率（权重） 总题量为： $5000+4000+3000=12000$ 道。 $\text{P}(M_1)=\frac{5000}{12000}=\frac{5}{12}$ $\text{P}(M_2)=\frac{4000}{12000}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ $\text{P}(M_3)=\frac{3000}{12000}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

第二步：提取各题库的条件概率（正确率） 根据题意，在已知属于某个题库的前提下，做对的概率分别为： $\text{P}(R\mid M_1)=0.92,\text{P}(R\mid M_2)=0.86,\text{P}(R\mid M_3)=0.72$

第三步：套用全概率公式求解总概率 根据全概率公式 $\text{P}(R)=\text{P}(M_1)\text{P}(R\mid M_1)+\text{P}(M_2)\text{P}(R\mid M_2)+\text{P}(M_3)\text{P}(R\mid M_3)$，代入数据： $\text{P}(R)=\frac{5}{12}\times 0.92+\frac{1}{3}\times 0.86+\frac{1}{4}\times 0.72$ 将小数化为分数进行通分计算： $\text{P}(R)=\frac{5}{12}\times \frac{92}{100}+\frac{1}{3}\times \frac{86}{100}+\frac{1}{4}\times \frac{72}{100}$ $\text{P}(R)=\frac{460}{1200}+\frac{344}{1200}+\frac{216}{1200}=\frac{460+344+216}{1200}=\frac{1020}{1200}$ 分子分母同时约去 60，化简为最简分数： $\text{P}(R)=\frac{17}{20}=0.85$

方法二：总体频数累加法（推荐，不易算错）

直接在草稿纸上盘点小申一共做对了多少道题：

• A 题库做对题数： $5000\times 0.92=4600$ 道；
• B 题库做对题数： $4000\times 0.86=3444$ 道 $\to$ 错！应为 $4000\times 0.86=3440$ 道；
• C 题库做对题数： $3000\times 0.72=2160$ 道。

小申在总题库中做对的总题数为： $\text{做对总数}=4600+3440+2160=10200\text{ 道}$ 总题数为 12000 道，故随机抽取一题做对的概率为： $\text{P}=\frac{10200}{12000}=\frac{102}{120}=\frac{17}{20}=0.85$

【答案】：$\frac{17}{20}$ （或 $0.85$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全概率公式 $P(B)=\sum P(A_i)P(B|A_i)$ 的实际建模、多系统独立不均等抽样的加权平均核算。
2. 核心方法：加权平均法、频数总量合并法。
3. 避坑指南：

• 掉入“算术平均”陷阱：基础不牢的考生极易产生惯性思维，直接把三个正确率加起来除以 3（即误算为 $\frac{0.92+0.86+0.72}{3}\approx 0.833$ ）。必须清醒认识到：只有在三个题库的题目总量完全相等时，才能用算术平均；题量不等时，必须用“全概率公式”进行加权平均。
• 浮点数/分式混合通分失误：方法一中涉及 $\frac{5}{12}$ 这种分母带 3 因子的分数和 100 分母的乘积，手工通分时容易忙中出错。推荐使用方法二，直接将“题量 $\times$ 正确率”转化为整数题数，将极大地降低算错的概率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中全概率公式的核心引入典型例题。旨在考查新高考课标中非常强调的“利用概率模型进行社会生活数据处理”的核心素养。
2. 结论推广: 全概率公式是概率论中用于处理“化整为零，分段打击”的王牌武器。在工业产品质检（如：由甲、乙、丙三条流水线生产的产品混装在一起，求总次品率）、疾病筛查（如：不同年龄段人群患病率不同，求全人群综合患病率）等长流程链条中，它是求取全局终态概率的唯一确定性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-18 解-条件概率
• 2012-湖北卷理-20
• 2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式