2014-新课标II卷理-05 单-条件概率公式

本题导读

本题考查概率中的条件概率计算。核心在于正确识别题目中的已知条件（前一天优良）作为概率空间的基础，利用 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 进行求解。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 $0.75$，连续两天为优良的概率是 $0.6$.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ()

A. $0.8$　　　　　　B. $0.75$　　　　　　C. $0.6$　　　　　　D. $0.45$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 事件定义：
   • 设事件 $A$ 为“第一天空气质量优良”，则 $P(A)=0.75$。
   • 设事件 $B$ 为“第二天空气质量优良”。
   • “连续两天为优良”即事件 $AB$，则其概率 $P(AB)=0.6$。
2. 分析问题：题目要求的是“已知第一天优良（事件 $A$ 发生）的条件下，第二天也优良（事件 $B$ 发生）”的概率。
3. 公式选择：根据条件概率公式 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 代入计算即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理已知概率

• $P(\text{第一天优良})=P(A)=0.75$
• $P(\text{第一天且第二天均为优良})=P(AB)=0.6$

第二步：应用条件概率公式 根据题意，在已知第一天空气质量为优良的条件下，随后一天空气质量也为优良的概率为： $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 代入数据： $P(B|A)=\frac{0.6}{0.75}$ 计算得： $P(B|A)=\frac{60}{75}=\frac{4}{5}=0.8$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：条件概率的定义与计算。

2. 核心方法：套用 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 直接代入求值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 事件的相互独立性判定（若 $P(B|A)=P(B)$，则独立；本题 $0.8\ne 0.75$，故不独立）。

2. 结论推广: 条件概率反映了新信息（已知 $A$ 发生）对事件 $B$ 发生可能性大小的修正。

3. 方法推广: 面对更复杂的此类问题（如全概率公式或贝叶斯公式），画出树状图或韦恩图有助于理清各概率分支。

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