2024-上海卷-12 填-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及集合的基数与数集运算。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）无穷等比数列 $\{a_n\}$ 满足首项 $a_1>0$，$q>1$.记集合 $I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}$.若对任意正整数 $n$，集合 $I_n$ 是闭区间，则 $q$ 的取值范围是 ____.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深度剖析集合 $I_n$ 的几何构成： 集合 $I_n$ 的本质是数集 $S=S_1\cup S_n$ 的自差集 $S-S=\{x-y\mid x,y\in S\}$，其中 $S_1=[a_1,a_2]$， $S_n=[a_n,a_{n+1}]$。 根据实数减法的运算性质，$I_n$ 中的元素来源可拆解为以下四种形式：

• 内部对减： $x,y\in S_1⟹x-y\in [a_1-a_2,a_2-a_1]$；
• 内部对减： $x,y\in S_n⟹x-y\in [a_n-a_{n+1},a_{n+1}-a_n]$；
• 跨区正减： $x\in S_n,y\in S_1⟹x-y\in [a_n-a_2,a_{n+1}-a_1]$；
• 跨区负减： $x\in S_1,y\in S_n⟹x-y\in [a_1-a_{n+1},a_2-a_n]$。

2. 利用对称性简化简化： 若 $x-y\in I_n$，则其相反数 $y-x$ 也必然满足 $y-x\in I_n$，所以集合 $I_n$ 关于原点 $0$ 轴对称。因此，“$I_n$ 是闭区间”等价于“$I_n$ 的非负数部分 $[0,+\infty )\cap I_n$ 是一段连续无间断的闭区间”。
3. 寻找无缝对接的临界不等式： 将非负部分的子区间合并。由于 $q>1$，显然随项数增大线段变长，即 $a_{n+1}-a_n⩾a_2-a_1$，故两个内部对减产生的非负区间合并为 $[0,a_{n+1}-a_n]$。而跨区正减产生的非负区间为 $[a_n-a_2,a_{n+1}-a_1]$。这两段线段在数轴上若想无缝连接，其几何充要条件是：右侧线段的左端点小于或等于左侧线段的右端点。

✅【答案】

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$q\ge 2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入等比数列通项，写出各边界端点

设首项 $a_1=a(a>0)$。根据等比数列通项公式，相关区间为： $S_1=[a,aq],S_n=[a{q}^{n-1},a{q}^n]$

审视非负差值集合中的两条关键控制线段：

• 线段一（内部对减最大饱和区）： $J_{\text{internal}}=[0,a{q}^n-a{q}^{n-1}]=[0,a{q}^{n-1}(q-1)]$
• 线段二（跨区正减覆盖区）： $J_{\text{cross}}=[a{q}^{n-1}-aq,a{q}^n-a]$

第二步：建立线段无缝对接的边界不等式

要使整个非负集合连续而不产生离散的孤岛（即中间不产生空隙），线段二的左端点必须小于或等于线段一的右端点： $a{q}^{n-1}-aq⩽a{q}^{n-1}(q-1)$

两端同时除以正实数 $a>0$： $q^{n-1}-q⩽q^{n-1}(q-1)$ 将右侧展开并整理： $q^{n-1}-q⩽q^n-q^{n-1}⟹2q^{n-1}-q^n⩽q$

提取公因式 $q^{n-1}$，化简为最终控制方程： $q^{n-1}(2-q)⩽q\dots \dots \text{(1)}$

第三步：针对“任意正整数 $n$ 恒成立”的要求进行分类讨论

题目要求不等式①必须对任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。

• 情况 1：若公比满足 $q⩾2$ 此时，核心项 $(2-q)⩽0$。 由于已知公比 $q>1$，故指数项必有 $q^{n-1}>0$。 正数与非正数相乘，导致等式左端： $\text{左端}=q^{n-1}(2-q)⩽0$ 而等式右端满足 $q>1>0$ 严格为正数。 非负项恒小于等于正数项，故对于任意正整数 $n$ 均无条件恒成立。 因此， $q⩾2$ 完全符合题意。

• 情况 2：若公比满足 $1<q<2$ 此时，核心项 $(2-q)>0$ 严格为正。 在不等式①两端同时除以正数 $q\cdot (2-q)$ 得： $\frac{q^{n-1}}{q}⩽\frac{1}{2-q}⟹q^{n-2}⩽\frac{1}{2-q}$ 若让项数 $n$ 向无穷远端发射（令 $n\to +\infty$ ）。由于公比基数满足 $q>1$，根据指数函数的增长性质，等式左端： ${\lim }_{n\to +\infty }{q}^{n-2}=+\infty$ 而等式右端 $\frac{1}{2-q}$ 是一个与 $n$ 无关的确定有限常数。 随着 $n$ 的无限增大，左端必将在某一步直接刺穿该上界，导致不等式在远端失效。 因此， $1<q<2$ 无法满足“对任意正整数 $n$ ”的恒成立要求，予以淘汰。

综上所述，公比 $q$ 的取值范围在 $[2,+\infty )$。

【答案】：$[2,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续集合运算的几何化归、等比数列通项性质的应用、多变量不等式恒成立中参数与变元的极限分离。
2. 核心方法：轴对称化简法、区间首尾对接法（连续性充要条件转化）、极限发散筛选法。
3. 避坑指南：

• 差集定义翻译瘫痪：本题难点在于如何下笔表达 $I_n$。如果没有注意到“对称性”而把四组端点（包含负数）全部罗列出来求交并集，容易引发复杂的符号推导。应明确对称数集看正轴，线段对接看左右边界。
• 忽视 $q=2$ 的分水岭机理：在分类讨论中，如果缺乏极限思想（未引入 $n\to +\infty$ 时的发散复核），很难决断 $1<q<2$ 为什么不行。需要深刻理解 $(2-q)$ 的符号变号直接改变了左侧指数项在无限迭代下的发散行为。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查数集基本运算与等比数列通项性质的结合，是上海高考填空压轴题中注重概念推演而非死记硬背公式的标准风格题型。
2. 结论推广：在现代实分析中，本题的结构是探讨康托尔集（Cantor Set）及其代数差集连续性的离散变构模型。对于任意由特定几何级数增量构成的分离闭区间族，其自差集 $S-S$ 能够完美融合成一个无孔洞的连续封闭连续统的底线，就是其几何公比（扩张速度）必须大于或等于其临界拓扑维数的倒数（在本题中即为 2）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2010-江苏卷-19 解-根号Sn等差数列
• 2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列