2011-湖北卷文-17 解-等差等比数列

本题导读

本题考查等差数列，以及等比数列。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 成等差数列的三个正数的和等于 $15$，并且这三个数分别加上 $2$，$5$，$13$ 后成为等比数列 $\{b_n\}$ 中的 $b_3$，$b_4$，$b_5$.

(1)求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2)数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：数列 $\left\{S_n+\frac{5}{4}\right\}$ 是等比数列.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：三数设为 $a-d$
2. 步骤2：$a$
3. 步骤3：$a+d$
4. 步骤4：加数后成等比列方程

✅【答案】

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(1)$b_n=\frac{5}{4}\cdot 2^{n-1}$

(2)证明见解析，$S_n+\frac{5}{4}=5\cdot 2^{n-2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设三个正数为 $a-d$，$a$，$a+d$（$d$ 为公差），由和为 $15$ 得 $a=5$。

三数加 $2$，$5$，$13$ 后为 $7-d$，$10$，$18+d$，成等比：$10^2=(7-d)(18+d)$。

展开：$100=126-11d-d^2$，即 $d^2+11d-26=0$，$(d+13)(d-2)=0$，解得 $d=2$ 或 $d=-13$。

$d=-13$ 时第三个正数为 $5-13=-8<0$，舍去。故三数为 $3$，$5$，$7$。

于是 $b_3=5$，$b_4=10$，$b_5=20$，公比 $q=2$，$b_3=b_1{q}^2$ 得 $b_1=\frac{5}{4}$，故 $b_n=\frac{5}{4}\cdot 2^{n-1}$。

（2）$S_n=\frac{b_1(2^n-1)}{2-1}=\frac{5}{4}(2^n-1)$，故 $S_n+\frac{5}{4}=\frac{5}{4}\cdot 2^n=5\cdot 2^{n-2}$。

当 $n⩾2$ 时，$\frac{S_n+5/4}{S_{n-1}+5/4}=\frac{5\cdot 2^{n-2}}{5\cdot 2^{n-3}}=2$ 为常数；首项 $S_1+\frac{5}{4}=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 0$。

故 $\left\{S_n+\frac{5}{4}\right\}$ 是首项 $\frac{5}{2}$、公比 $2$ 的等比数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对称设法解等差数列；等比中项条件；等比数列的判定（比值恒定 + 首项非零）

核心方法：三数等差用对称设法一步化简”和”的条件；等比判定用”后项比前项 = 常数”并验首项非零

避坑指南：$d=-13$ 的舍去依据是”三个正数”——只看等比方程会漏掉这层约束；判定等比数列时”首项非零”与”比值恒为常数”缺一不可（$S_1+5/4=5/2$ 要写明）；$S_n$ 公式仅对 $q\ne 1$ 适用，本题 $q=2$ 无虞。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比综合题与 2012-山东卷文-20、2012-重庆卷文-16、2011-浙江卷文-19 同族。

结论推广：推广：等比数列 $\{b_n\}$（$q\ne 1$）的前 $n$ 项和满足 $S_n+\frac{b_1}{q-1}=\frac{q}{q-1}{b}_1{q}^{n-1}$，即 $\left\{S_n+\frac{b_1}{q-1}\right\}$ 恒为等比数列——本题 $b_1=\frac{5}{4}$，$q=2$ 的特例。

方法推广：数列证明题：第一问抓”和”与”等比中项”两个方程；第二问判定等比的标准动作是求比值 + 验首项，最后用通项复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2012-重庆卷文-16 解-等差数列通项与等比
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比