2024-北京卷-17 解-立体几何综合

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问通过取中点构造中位线，结合底面几何性质证明线面平行；第二问通过空间中线面垂直关系的转化建立空间直角坐标系，利用法向量夹角公式计算二面角的余弦值.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $BC\parallel AD$，$AB=BC=1$，$AD=3$，点 $E$ 在 $AD$ 上，且 $PE\perp AD$，$DE=PE=2$.

（1）若 $F$ 为线段 $PE$ 的中点，求证： $BF\parallel$ 平面 $PCD$；

（2）若 $AB\perp$ 平面 $PAD$，求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行证明）：核心在于通过“线线平行 $⟹$ 线面平行”进行化归。已知 $F$ 是 $PE$ 的中点，遵循“见中点找中点”的几何本能，取 $PD$ 的中点 $M$ 连结 $FM$，即可利用中位线定理锁定 $FM\parallel ED$。接着通过底面数据算得 $AE=1$，从而桥接出四边形 $ABCE$ 是平行四边形，证明出 $BF\parallel CM$ 进而快速求解。
2. 第二问（空间向量求面面角）：核心在于寻找“两两垂直的三条共点线”作为坐标轴。由 $AB\perp$ 平面 $PAD$，而平行四边形中 $CE\parallel AB$，可平移得到 $CE\perp$ 平面 $PAD$，从而有 $CE\perp PE$ 且 $CE\perp ED$。结合已知 $PE\perp ED$，顺利以 $E$ 为原点构建空间直角坐标系，通过求平面 $PAB$ 和平面 $PCD$ 的法向量完成点积计算。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{30}}{30}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

（1）证明：若 $F$ 为线段 $PE$ 的中点，求证： $BF\parallel$ 平面 $PCD$

第一步：构造中位线结构 取线段 $PD$ 的中点 $M$，连接 $FM$ 和 $CM$。 因为 $F$ 是 $PE$ 的中点，$M$ 是 $PD$ 的中点， 所以 $FM$ 是 $△PDE$ 的中位线，由中位线性质可得： $FM\parallel ED,\text{且}FM=\frac{1}{2}ED$

第二步：分析底面几何关系 在四棱锥底面 $ABCD$ 中，因为 $AD\parallel BC$（即 $AE\parallel BC$）。 已知 $AD=3$，$DE=2$，所以线段 $AE$ 长度为： $AE=AD-DE=3-2=1$

因为已知 $BC=1$，所以 $BC\parallel AE$ 且 $BC=AE=1$。 由此判定四边形 $ABCE$ 为平行四边形，从而有 $AB\parallel CE$。 由于 $DE=2,BC=1$，可得： $BC=\frac{1}{2}ED$

第三步：利用平行四边形完成证明 综合上述推导结果可得 $FM\parallel BC$ 且 $FM=BC$。 根据平行四边形判定定理，四边形 $BCMF$ 为平行四边形。 所以可得线线平行关系： $BF\parallel CM$

因为 $BF\not\subset$ 平面 $PCD$，且 $CM\subset$ 平面 $PCD$， 根据线面平行的判定定理，断定： $BF\parallel \text{平面 }PCD$

(2) 第(2)问详解

（2）解：若 $AB\perp$ 平面 $PAD$，求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值．

方法一：空间向量坐标法（推荐）

第一步：确立垂直关系并建立空间直角坐标系 因为 $AB\perp$ 平面 $PAD$，由四边形 $ABCE$ 为平行四边形可知 $CE\parallel AB$。 根据空间直线与平面垂直的性质，有： $CE\perp \text{平面 }PAD$

因为 $PE\subset$ 平面 $PAD$，$ED\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CE\perp PE$ 且 $CE\perp ED$。 又已知 $PE\perp AD$ （即 $PE\perp ED$ ）。 由此说明，共点线段 $EP,ED,EC$ 两两相互垂直。

以 $E$ 为坐标原点，$EC$ 所在直线为 $x$ 轴，$ED$ 所在直线为 $y$ 轴，$EP$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $E-xyz$。

根据已知长度数据（ $DE=PE=2,AE=CE=1$ ），各顶点的空间坐标为： $E(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(1,0,0)$ 因为 $A$ 点在 $y$ 轴负半轴上（自 $E$ 向左 $1$ 个单位），故 $A(0,-1,0)$。 因为 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}=(1,0,0)$，可得 $B(1,-1,0)$。

第二步：求平面 $PAB$ 的法向量 计算平面内两条向量： $\overrightarrow{AB}=(1,0,0),\overrightarrow{AP}=(0,1,2)$ 设平面 $PAB$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，则满足方程组： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{AB}=x_1=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{AP}=y_1+2z_1=0\end{array}$ 令 $z_1=-1$，解得 $y_1=2$，从而得到一个法向量： $\vec{m}=(0,2,-1)$

第三步：求平面 $PCD$ 的法向量 计算该平面内两条向量： $\overrightarrow{PC}=(1,0,-2),\overrightarrow{CD}=(-1,2,0)$ 设平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，同理列出方程组： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{PC}=x_2-2z_2=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-x_2+2y_2=0\end{array}$ 令 $z_2=1$，解得 $x_2=2$，进而算出 $y_2=1$，从而得到一个法向量： $\vec{n}=(2,1,1)$

第四步：通过法向量点积求面面角 设平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 的夹角为 $\theta$（ $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ ）。 套用向量夹角公式： $\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|0\times 2+2\times 1+(-1)\times 1|}{\sqrt{0^2+2^2+(-1{)}^2}\times \sqrt{2^2+1^2+1^2}}$ $\cos \theta =\frac{|2-1|}{\sqrt{5}\times \sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{30}$

所以，平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{30}$。

方法二：纯几何三射线定理法

延长 $AB,DC$ 相交于点 $G$，设平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 的夹角即二面角 $A-PG-D$ 为 $\varphi$，设 $\angle AGP=\alpha ,\angle DGP=\beta ,\angle AGD=\theta$。 根据空间三射线定理有： $\cos \theta =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos \varphi$ 在 $△AGD$ 中易知： $\cos \theta =\frac{\sqrt{5}}{5}$。 因为 $AB\perp$ 平面 $PAD$，所以 $AB\perp PA$。 在 $\text{Rt}△PAG$ 中， $AG=\frac{3}{2},PG=\sqrt{A{P}^2+A{G}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{\sqrt{29}}{2}$。 $\cos \alpha =\frac{AG}{PG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{29}}{2}}=\frac{3\sqrt{29}}{29},\sin \alpha =\frac{2\sqrt{145}}{29}$ 在 $△PGD$ 中， $PD=2\sqrt{2},DG=\frac{3\sqrt{5}}{2},PG=\frac{\sqrt{29}}{2}$，由余弦定理有： $\cos \beta =\frac{P{G}^2+D{G}^2-P{D}^2}{2PG\cdot DG}=\frac{{\left(\frac{\sqrt{29}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2\left(\frac{\sqrt{29}}{2}\right)\times \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)}=\frac{7\sqrt{145}}{145},\sin \beta =\frac{4\sqrt{850}}{145}$ 代入三射线定理方程中： $\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{3\sqrt{29}}{29}\times \frac{7\sqrt{145}}{145}+\frac{2\sqrt{145}}{29}\times \frac{4\sqrt{850}}{145}\cos \varphi ⟹\cos \varphi =\frac{\sqrt{30}}{30}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的判定定理应用、线面垂直的性质推导、利用空间向量求解面面夹角。
2. 核心方法：中位线法（几何证明）、空间向量坐标法（代数计算）。
3. 避坑指南：

• 坐标建系原点选择：在第二问建立直角坐标系时，若盲目以 $A$ 点或 $D$ 点为原点，会导致后续点坐标包含复杂的根式或分数。通过判定 $AB\perp$ 平面 $PAD$ 以及 $AB\parallel CE$ 转换出 $CE\perp$ 平面 $PAD$，锁定 $E$ 点作为两两垂直的基轴原点，能简化后续坐标书写。
• 坐标正负错误：确定 $A$ 点坐标时，需注意其位于 $y$ 轴的负半轴上，坐标应为 $A(0,-1,0)$，若漏写负号将导致后续法向量计算彻底错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是经典的立体几何大题标准构型，第一问考查几何空间逻辑推理，第二问考查空间向量法在求解二面角问题中的代数应用。
2. 结论推广：在求解任意锥体或柱体的面面角时，利用空间直角坐标系结合法向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 是具有普适性的通法，其可以将复杂的作图与传统几何找交线的步骤直接转化为向量的数值运算。。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角