2024-天津卷-04 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数奇偶性的判定。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）下列函数是偶函数的是 (　　) A. $\frac{{\text{e}}^x-x^2}{x^2+1}$　　　B. $\frac{\cos x+x^2}{x^2+1}$　　　C. $\frac{{\text{e}}^x-x}{x+1}$　　　D. $\frac{\sin x+4x}{{\text{e}}^{|x|}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 死守第一道范围（看定义域）：函数具有奇偶性的首要必要条件是其定义域必须关于原点严格对称。如果定义域本身产生残缺或不对称，该函数直接宣告为“非奇非偶函数”。
2. 多解法协同破题：

• 方法一（性质法，推荐）：将复合函数拆解为基本初等函数。利用口诀“偶 $\pm$ 偶 $=$ 偶”、“奇 $\pm$ 奇 $=$ 奇”以及乘除法中的“同性得偶（正），异性得奇（负）”进行批量快速求解。
• 方法二（定义法）：在定义域对称的前提下，验证 $f(-x)$ 的代数式是否满足 $f(-x)=f(x)$（偶函数）或 $f(-x)=-f(x)$（奇函数）。
• 方法三（特值排除法）：选择简单的相反数（如 $x=1$ 与 $x=-1$ ），若 $f(-1)\ne f(1)$，则直接淘汰偶函数可能。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：四则性质法（高维简化，考场首选）

我们首先盘点各选项中分母或共有基础构型的奇偶性： 函数 $y=x^2+1$ 和 $y={\text{e}}^{|x|}$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$，且满足 $x^2=(-x{)}^2,|x|=|-x|$，因此它们都是标准的偶函数。

• A 选项： $f(x)=\frac{{\text{e}}^x-x^2}{x^2+1}$ 分母为偶函数。分子中， $y={\text{e}}^x$ 是典型的非奇非偶函数， $y=x^2$ 是偶函数，它们相减组成的分子 ${\text{e}}^x-x^2$ 为非奇非偶函数。根据除法法则，“非奇非偶 / 偶”必然仍为非奇非偶函数，故 A 错误。

• B 选项： $f(x)=\frac{\cos x+x^2}{x^2+1}$ 分母为偶函数。分子中，余弦函数 $y=\cos x$ 是偶函数， $y=x^2$ 也是偶函数。根据“偶 $+$ 偶 $=$ 偶”，分子严格为偶函数。再根据除法法则，商函数 $\frac{\text{偶}}{\text{偶}}$ 严格为偶函数，完全符合题意，故 B 正确。

• C 选项： $f(x)=\frac{{\text{e}}^x-x}{x+1}$ 我们审视该分式方程的分母，要求 $x+1\ne 0⟹x\ne -1$。 该函数的定义域为 $\{x\mid x\in \mathbf{R}\text{ 且 }x\ne -1\}$。 由于数轴上缺乏了 $-1$ 这个点，却完好保留了 $1$ 这个点，定义域不关于原点对称。因此该函数直接丧失了判定奇偶性的资格，属于铁证如山的非奇非偶函数，故 C 错误。

• D 选项： $f(x)=\frac{\sin x+4x}{{\text{e}}^{|x|}}$ 分母为偶函数。分子中，正弦函数 $y=\sin x$ 为奇函数，正比例函数 $y=4x$ 也是奇函数。根据“奇 $+$ 奇 $=$ 奇”，整个分子为奇函数。再根据除法法则，商函数 $\frac{\text{奇}}{\text{偶}}$ 严格为奇函数，故 D 错误。

方法二：严格代数定义法（稳健复核）

我们对通过性质法锁定的 B 选项进行标准的代数严密复核： 令 $f(x)=\frac{\cos x+x^2}{x^2+1}$，其定义域为整个实数集 $\mathbf{R}$，天然关于原点对称。 我们将自变量 $x$ 整体用 $-x$ 进行强制替换，带入解析式展开： $f(-x)=\frac{\cos (-x)+(-x{)}^2}{(-x{)}^2+1}$ 利用诱导公式 $\cos (-x)=\cos x$ 以及负数平方性质 $(-x{)}^2=x^2$，上式可完美还原化简为： $f(-x)=\frac{\cos x+x^2}{x^2+1}=f(x)$ 根据定义， $f(-x)=f(x)$ 恒成立，确证其为偶函数。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定义域关于原点对称的先决判定、核心初等函数（指对幂三角）的奇偶极性、复合分式函数的四则运算法则。
2. 核心方法：结构性质化简法、数值赋值排除法。
3. 避坑指南：

• 忘看定义域直接盲目代入：这是奇偶性判定题中最大的“降智陷阱”。如果不看定义域，直接对 C 选项盲目进行 $f(-x)$ 的代数公式化简，不仅会浪费大量的考场时间，还极易在复杂的式子中由于运算失误得出错误结论。请死记硬背：判定奇偶性，动笔第一步先抬头看定义域。
• 奇偶四则混合运算法则记混：
  • 加减法管“同性”： 奇 $\pm$ 奇 $=$ 奇， 偶 $\pm$ 偶 $=$ 偶；（若一奇一偶相加减，则沦为非奇非偶）。
  • 乘除法管“极性”：类似于正负号乘除， 奇 $\times$ 奇 $=$ 偶， 偶 $\times$ 偶 $=$ 偶， 奇 $\times$ 偶 $=$ 奇。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材必修第一册第三章《函数的概念与性质》中函数奇偶性判定的经典课后练习题。是全国各省市高考高频考查的保底选择题构型。
2. 结论推广: 在高考创新题中，经常会遇到形如 $f(x)=\ln (\sqrt{x^2+1}-x)$ 或 $f(x)=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$ 这类隐藏得很深的高级奇函数变构形式。掌握“将复杂代数式拆解为基本奇偶单元进行极性积木拼接”的思想，可以跨越一切复杂的代数迷雾，实现对函数综合性质题的无运算直观快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性