2024-天津卷-05 单-指数对数比大小

本题导读

本题考查指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）若 $a=4.2^{-0.3}$，$b=4.2^{0.3}$，$c={\log }_{4.2}0.3$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为（ ）

A. $a>b>c$　　　　　B. $b>a>c$　　　　　C. $c>a>b$　　　　　D. $b>c>a$

🔍【思路分析】

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1. 确立参照标尺：比较不同类型的指对数大小，常用的分界点是 0 和 1。

2. 分析指数幂 $a$ 与 $b$：由于 $a$ 与 $b$ 底数相同且大于 1，构造指数函数 $f(x)=4.2^x$，根据其在 $\mathbf{R}$ 上的严格单调递增性，比对指数 $-0.3$ 与 $0.3$ 的大小，并以 $4.2^0=1$ 为界确定范围。

3. 分析对数值 $c$：构造对数函数 $g(x)={\log }_{4.2}x$，由于底数大于 1 且真数小于 1，以 ${\log }_{4.2}1=0$ 为临界点判定其正负。

4. 并轨得出结论：将三个数分别定位到 $(-\infty ,0)$、 $(0,1)$、 $(1,+\infty )$ 三个区间内，确定大小链条。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：剖析指数幂 $a$ 和 $b$ 的数值区间

$a$ 与 $b$ 具有相同的底数 $4.2$。构造指数函数：

$f(x)=4.2^x$

根据指数函数的性质，由于底数满足 $4.2>1$，因此该函数在实数集 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。

因为自变量的大小关系为：

$-0.3<0<0.3$

根据增函数的性质，自变量越大，对应的函数值也越大，即：

$4.2^{-0.3}<4.2^0<4.2^{0.3}$

由于 $4.2^0=1$，代入已知符号 $a,b$ 可得：

$0<a<1\text{且}b>1⟹b>a>0\dots \dots \text{(1)}$

第二步：剖析对数值 $c$ 的正负极性

对于对数项 $c={\log }_{4.2}0.3$。构造对数函数：

$g(x)={\log }_{4.2}x$

根据对数函数的性质，由于底数满足 $4.2>1$，因此该对数函数在定义域 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增。

引入边界点 $x=1$ 作为参考，因为真数满足 $0.3<1$，由对数函数的严格单调递增性可得：

${\log }_{4.2}0.3<{\log }_{4.2}1$

由于 ${\log }_{4.2}1=0$，上式等价于：

$c<0\dots \dots \text{(2)}$

第三步：串联大小链条

综合式①与式②，三个数在数轴上的区间分布为：

• $c$ 落在负数区间： $c\in (-\infty ,0)$；

• $a$ 落在正分数区间： $a\in (0,1)$；

• $b$ 落在大于 1 的区间： $b\in (1,+\infty )$。

因此，它们从大到小的顺序为：

$b>a>c$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数 $y=A^x(A>1)$ 与对数函数 $y={\log }_{A}x(A>1)$ 的严格单调性、特殊点值判定。

2. 核心方法：中间值卡位法（以 0, 1 为常用标尺）。

3. 避坑指南：

• 对数正负号混淆：判定对数值与 0 的大小关系时，注意“底数与真数同区为正，异区为负”。即底数和真数同时大于 1 或同时小于 1 时，对数值为正；底数和真数一个大于 1 且一个小于 1 时，对数值为负。本题中底数 $4.2>1$ 而真数 $0.3<1$，属于异区构型，可直接判定 $c<0$。

• 负指数幂的符号误判：注意 $a=4.2^{-0.3}$ 并非负数。只要指数函数的底数大于 0，其幂值 $A^x$ 恒大于 0。负指数仅代表其数值为正数的倒数，使其数值分布在 $(0,1)$ 区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查指数函数与对数函数性质的综合应用，属于高考中常见的关于基本初等函数图象与性质的保底得分题。

2. 结论推广：对于形式更为复杂的错位指对数大小比较（如比较 $a={\log }_{2}3,b={\log }_{3}5,c={\log }_{5}2$ ），除了使用 1 作为基准外，通常还需要引入 $\frac{1}{2}$、 $1.5$ 或 $2$ 等精细中介值。通过利用换底公式统一底数或进行幂次变形，可将复杂的跨类比对转化为同类单调函数内部的自变量比对。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-10 单-指数函数的图象与性质

• 2007-四川卷理-02 单-指数函数图象性质

• 2012-新课标卷文-11 单-指对恒成立