2024-天津卷-07 单-正弦函数最值

本题导读

本题考查三角函数的周期性，以及三角函数的单调性与最值。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）已知函数 $f(x)=3\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})(\omega >0)$ 的最小正周期为 $\pi$.则函数在 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{6}\right]$ 的最小值是（ ） A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{3}{2}$　　　　　　C. 0　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解参数 $\omega$：利用正弦型函数的周期计算公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，结合已知周期 $\pi$ 建立方程，求出系数 $\omega$。
2. 整体换元确定相角域：设整体相位 $t=\omega x+\frac{\pi }{3}$。根据自变量 $x$ 的取值范围 $\left[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{6}\right]$，通过不等式的同向变换，推导出整体变量 $t$ 的实际取值区间。
3. 数形结合确定最值：将问题转化为考察正弦曲线 $y=3\sin t$ 在所得新区间上的分布形态，通过比对端点值和极值点锁定最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用周期公式确定函数解析式

已知函数 $f(x)=3\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)$ 且满足 $\omega >0$。 根据正弦型函数的最小正周期公式： $T=\frac{2\pi }{\omega }$

题目给出该函数的最小正周期为 $\pi$，建立方程： $\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$

因此，该函数的解析式为： $f(x)=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

第二步：利用整体代换法求出相位的取值范围

已知自变量 $x$ 的范围为： $-\frac{\pi }{12}⩽x⩽\frac{\pi }{6}$

对自变量进行逐步不等式变换，以确立相角整体的变化范围：

1. 各项同时乘以 $2$： $2\times \left(-\frac{\pi }{12}\right)⩽2x⩽2\times \frac{\pi }{6}⟹-\frac{\pi }{6}⩽2x⩽\frac{\pi }{3}$

2. 各项同时加上 $\frac{\pi }{3}$： $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}⩽2x+\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}⟹\frac{\pi }{6}⩽2x+\frac{\pi }{3}⩽\frac{2\pi }{3}$

第三步：结合正弦函数性质确定最小值

设整体相位变量 $t=2x+\frac{\pi }{3}$，此时问题转化为：求函数 $y=3\sin t$ 在闭区间 $t\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的最小值。

根据正弦曲线的形态与单调性，计算关键位置的函数值进行大小比对：

• 当 $t=\frac{\pi }{6}$ 时（区间左端点）： $y_1=3\sin \frac{\pi }{6}=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
• 当 $t=\frac{\pi }{2}$ 时（区间内对应的波峰点）： $y_2=3\sin \frac{\pi }{2}=3\times 1=3$
• 当 $t=\frac{2\pi }{3}$ 时（区间右端点）： $y_3=3\sin \frac{2\pi }{3}=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

对上述三个函数值进行大小排序，由于 $\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2.60$，满足： $\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{2}<3$

在该段区间内，函数随着 $t$ 的增大先单调递增冲上波峰 $3$，随后单调递减。对比两个端点值，其能够跌落到的最低处为左端点处的 $\frac{3}{2}$。 也就是说，该函数在给定闭区间上的最小值为 $\frac{3}{2}$．

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数周期计算公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$、复合一次线性不等式的范围推导、正弦图象在有限区间的最值筛选。
2. 核心方法：整体变量代换法（换元思想）。
3. 避坑指南：

• 不等式范围计算失误：在对相位进行不等式同步外推时，需注意分数及正负号的处理，避免在求 $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$ 等边界端点时因粗心导致计算错误。
• 机械套用端点最值：正弦曲线具有波动性，最值不一定仅在两个端点处取得。虽然本题的最小值恰在左端点取得，但若区间范围包含 $\frac{3\pi }{2}$ 等低谷点，真正的最小值则由波谷（$-A$）决定。解题时应结合图象性质或列表核对区间内是否存在波峰、波谷点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象与性质，属于高考中常见的关于三角函数性质分析的中档得分题。
2. 结论推广：整体代换法在处理三角函数问题时具有普适性。不仅可用于求解闭区间上的最值，也是解决“求正弦型函数的单调区间”、“已知最值或单调性逆推参数 $\omega$ 范围”等综合性质题目的核心通法。将复合相位整体视作一个随动变元 $t$，能将超越函数的性质分析化归为最基础的初等三角函数性质比对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2014-天津卷文-08 单-三角周期
• 2001-上海卷理-11 填-三角函数的图象与性质