2024-天津卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于设参数法、边角转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2024年天津卷）在 $△ABC$ 中， $\cos B=\frac{9}{16}$， $b=5$， $\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$.

（1）求 $a$ 的值；

（2）求 $\sin A$ 的值；

（3）求 $\cos (B-2A)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：已知两边的比例关系 $\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$，以及对边 $b$ 和对应角 $B$ 的余弦值。引入比例系数（设 $a=2k,c=3k$ ），代入余弦定理变构出一元二次方程，即可求出边长。
2. 第（2）问：在已知三边长度及 $\cos B$ 的情况下求 $\sin A$。首先利用平方关系将 $\cos B$ 转化为 $\sin B$，再利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 进行边角转换。
3. 第（3）问：套用两角差的余弦公式将目标式展开： $\cos (B-2A)=\cos B\cos 2A+\sin B\sin 2A$。在通过 $\sin A$ 逆推 $\cos A$ 时，利用大边对大角定理确定角 $A$ 的取值范围，确保开方时正负号判定准确。最后利用倍角公式求出 $2A$ 的正余弦值，回填计算。

✅【答案】

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(1) $a=4$

(2) $\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$

(3) $\cos (B-2A)=\frac{57}{64}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求 $a$ 的值

在 $△ABC$ 中，已知两边满足的比例关系为 $\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$。 引入比例参数 $k(k>0)$，则两边的长度可以表达为： $a=2k,c=3k$

套用余弦定理关于边长 $b$ 的方程： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

将已知数据 $b=5$ 以及 $\cos B=\frac{9}{16}$ 代入其中： $5^2=(2k{)}^2+(3k{)}^2-2\cdot (2k)\cdot (3k)\cdot \frac{9}{16}$ $25=4k^2+9k^2-12k^2\cdot \frac{9}{16}$ $25=13k^2-\frac{27}{4}{k}^2$

对等号右侧的代数式进行通分合并： $25=\frac{52k^2-27k^2}{4}⟹25=\frac{25k^2}{4}$

两端同时约去 25，得到： $\frac{k^2}{4}=1⟹k^2=4$ 由于比例系数 $k>0$，解得： $k=2$

因此，边长 $a$ 的值为： $a=2k=2\times 2=4$ (同时可求出另一边长 $c=3k=6$ )。

（2）解：求 $\sin A$ 的值

由第（1）问的推导可知， $△ABC$ 的三边长分别为： $a=4,b=5,c=6$

因为 $\cos B=\frac{9}{16}$，且角 $B$ 作为三角形内角满足 $B\in (0,\pi )$。 根据平方关系，其正弦值为正： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{9}{16}\right)}^2}=\sqrt{\frac{256-81}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$

根据正弦定理建立两内角的关系： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹\sin A=\frac{a\sin B}{b}$

将已知数据代入公式中计算： $\sin A=\frac{4\times \frac{5\sqrt{7}}{16}}{5}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

（3）解：求 $\cos (B-2A)$ 的值

第一步：确定角 $A$ 的取值范围 由已知边长满足 $a=4,b=5$，显然有 $a<b$。 根据三角形中“大边对大角”的几何定理，必然满足： $A<B$

又因为 $\cos B=\frac{9}{16}>0$，这说明角 $B$ 为锐角。 由于角 $A$ 比锐角 $B$ 小，且作为三角形内角满足 $A>0$，因此角 $A$ 必为锐角，即 $A\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

因此，在利用 $\sin A$ 求 $\cos A$ 时，其符号确定为正号： $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4}$

第二步：套用二倍角公式求解 $2A$ 的三角函数值

• 正弦二倍角公式： $\sin 2A=2\sin A\cos A=2\times \frac{\sqrt{7}}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$
• 余弦二倍角公式： $\cos 2A={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A={\left(\frac{3}{4}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}-\frac{7}{16}=\frac{1}{8}$

第三步：套用差角公式完成最终计算 利用两角差的余弦公式展开： $\cos (B-2A)=\cos B\cos 2A+\sin B\sin 2A$

将前面计算获得的数据进行回填： $\cos (B-2A)=\frac{9}{16}\times \frac{1}{8}+\frac{5\sqrt{7}}{16}\times \frac{3\sqrt{7}}{8}$ $\cos (B-2A)=\frac{9}{128}+\frac{15\times 7}{128}$ $\cos (B-2A)=\frac{9}{128}+\frac{105}{128}=\frac{114}{128}$

$\cos (B-2A)=\frac{57}{64}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理在边长比例设参中的消元应用、正弦定理实现边向角的转化、两角和差与二倍角变换公式的运用。
2. 核心方法：比例系数设参法、大边对大角区间约束法。
3. 避坑指南：

• 比例转化时注意幂运算：在第一步代入 $(2k{)}^2$ 和 $(3k{)}^2$ 时，应注意将系数与字母同步平方，避免因笔误写成 $2k^2$ 和 $3k^2$ 导致后续计算错误。
• 忽视角取值范围的判定：通过 $\sin A$ 求 $\cos A$ 时，根据定义 $\cos A=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}A}$。需通过“因为 $a<b$ 故 $A<B$，由于 $\cos B>0$ 确定 $B$ 为锐角，从而判定 $A$ 为锐角”的逻辑推理，排除负值，保证步骤的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将解三角形中的正余弦定理综合应用与三角恒等变换的公式融合考查，属于高考试卷中解答题前段的常规保底得分题。
2. 结论推广：处理解三角形综合问题的通用思路是“几何问题代数化”。通过正弦定理或余弦定理将未知的几何位形转化为纯三角函数运算结构，再熟练运用两角和差、二倍角等三角恒等变换公式进行展开与化简，即可使问题得到确定性的解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 全国卷I理-17 解-解三角形
• 2022-乙卷文-17
• 2008-山东卷理-15