2015-天津卷理-13 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。解题核心在于利用三角形面积公式结合同角三角函数关系求出边长的乘积，再通过余弦定理建立方程，最终求得未知边 $a$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $△ABC$ 的面积为 $3\sqrt{15}$，$b-c=2$，$\cos A=-\frac{1}{4}$，则 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求 $\sin A$：利用同角三角函数基本关系 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$。由于 $A$ 是三角形内角，$\sin A$ 恒为正。
2. 求 $bc$ 的乘积：利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$，代入已知的面积和 $\sin A$。
3. 求 $b$ 和 $c$：联立 $b-c=2$ 与 $bc$ 的值组成方程组求解。或者直接通过代数变形简化后续计算。
4. 求 $a$：利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
   • 变形技巧：$b^2+c^2=(b-c{)}^2+2bc$。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $\sin A$ 因为 $\cos A=-\frac{1}{4}$，且 $0<A<\pi$， 所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-(-\frac{1}{4}{)}^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。

第二步：求 $bc$ 的值 由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=3\sqrt{15}$ 得： $\frac{1}{2}\cdot bc\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}$ $\frac{\sqrt{15}}{8}bc=3\sqrt{15}⟹bc=24$

第三步：求 $b^2+c^2$ 已知 $b-c=2$，$bc=24$。 根据完全平方公式： $b^2+c^2=(b-c{)}^2+2bc=2^2+2(24)=4+48=52$ (注：此处也可解方程组得 $b=6,c=4$，同样可得 $b^2+c^2=52$)

第四步：运用余弦定理求 $a$ $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 代入数值： $a^2=52-2\cdot 24\cdot (-\frac{1}{4})$ $a^2=52+12=64$ 因为 $a>0$，所以 $a=8$。

答案：8

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：同角三角函数关系（$\sin A$ 的符号判定）；面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$；余弦定理。
• 核心技巧：整体代换。在求 $a$ 时，不必非要解出 $b,c$ 的具体值，利用 $(b-c{)}^2$ 的展开式进行整体代换往往更快捷。
• 避坑指南：注意 $\cos A$ 为负值代表 $A$ 是钝角，但在求 $a^2$ 时，负负得正，计算符号需细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若已知 $b+c$ 和面积，同样可以通过 $(b+c{)}^2-2bc$ 的变形来使用余弦定理。

• 相关知识点：正弦定理、海伦公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2023-天津卷-16 解-解三角形
• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
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