2024-新高考II卷-09 多-三角函数的图像与性质

本题导读

本题考查正弦型函数的图象与性质，以及三角函数图象的对称性。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）对于函数 $f(x)=\sin 2x$ 和 $g(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，下列结论正确的有（ ）

A. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同零点

B. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同最大值

C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 有相同的最小正周期

D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图像有相同的对称轴

🔍【思路分析】

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1. 分析 $A$ 和 $\omega$：两个函数的振幅 $A$ 均为 $1$，角频率 $\omega$ 均为 $2$。
2. 判定最值与周期：最大值仅由 $A$ 决定，周期由 $\omega$ 决定（$T=\frac{2\pi }{\omega }$）。
3. 判定零点与对称轴：零点和对称轴的位置受相位 $\varphi$ 的影响。通过解方程 $\sin (\dots )=0$ 得到零点，解方程 $\sin (\dots )=\pm 1$ 得到对称轴。

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析最大值（选项 B） 函数 $f(x)=\sin 2x$ 的振幅 $A=1$，故其最大值为 $1$ 函数 $g(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{4})$ 的振幅 $A=1$，故其最大值为 $1$ 两者最大值相同。故 B 选项正确

第二步：分析最小正周期（选项 C） 对于 $f(x)$，$\omega =2$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 对于 $g(x)$，$\omega =2$，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 两者周期相同。故 C 选项正确

第三步：判定零点（选项 A） 令 $f(x)=\sin 2x=0$，得 $2x=k\pi ⟹x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 令 $g(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{4})=0$，得 $2x-\frac{\pi }{4}=k\pi ⟹x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{8},k\in \mathbb{Z}$ 显然两个函数的零点集不一致（如 $x=0$ 是 $f(x)$ 的零点，但不是 $g(x)$ 的零点） 故 A 选项错误

第四步：判定对称轴（选项 D） 正弦函数在取得最大值或最小值处取得对称轴 令 $2x=k\pi +\frac{\pi }{2}$，得 $f(x)$ 的对称轴方程为 $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$ 令 $2x-\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{2}$，得 $g(x)$ 的对称轴方程为 $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{3\pi }{8},k\in \mathbb{Z}$ 两者的对称轴位置不同。故 D 选项错误

故选：BC

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数中特征参数（振幅 $A$ 、角频率 $\omega$ 、初相 $\varphi$ ）对几何性质的控制律、整体代换思想在求解三角函数零点与轴线方程中的应用、图象平移变换的本质。
2. 核心方法：整体换元对位法。在处理正弦型函数的零点、对称中心和对称轴问题时，最稳妥的解题长期有效Armor是**“整体换元法”**。切忌盲目套用平移口诀去口算，极易在 $\omega$ 不为 1 时算错步长。最清爽的程序是：直接将括号内的复合项 $\omega x+\varphi$ 视为一个整体 $\theta$，让其与标准正弦波的基本不变量（零点线 $\theta =k\pi$，对称轴线 $\theta =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ）直接进行代数咬合，随后再一元一次解出 $x$，即可实现对所有离散特征点集的精准扎实筛选。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（误认为频率相同则对称轴必定重合）：个别考生凭借直觉盲目判定，认为既然两个函数的角频率完全一样（ $\omega =2$ ），其波形在数轴上长得就一模一样，顺手就勾选了 D。务必明确：同频函数只是周期相同、同构，但初相（相位）的不同会导致整个函数图象在水平方向发生整体平移，从而导致零点和对称轴全盘错位。
• 避坑指南 2（对称轴公式中常数项记错）：部分同学在书写对称轴条件时，思维与正切函数的渐近线公式或余弦的零点公式发生交叉混淆，误记为 $2x=k\pi$。牢记：正弦波在最值点（波峰波谷）处取得对称轴，其整体角度对应的必须是 $k\pi +\frac{\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版必修第一册第五章《三角函数》中“函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 的图象与性质”章节后的经典对位基础复习题。高考命题组去除了传统模拟卷中诸如“利用三角恒等变换进行复杂化简、结合正余弦异名波形求交点最值”等二次包装，选择将两个参数规整、平行的正弦波直接进行矩阵式并置，纯粹考查考生对正弦型函数三大控制因子的分离转化能力，属于一道强化“四基”落实的典范好题。
2. 结论推广（同频正弦双星系统的“几何不变量模型”）： 可将此类“水平平移引发的三角函数特征对比”提炼为一般模型。设双星系统函数分别为 $f(x)=A\sin (\omega x+{\varphi }_1)$ 与 $g(x)=A\sin (\omega x+{\varphi }_2)$ （且满足 ${\varphi }_1\ne {\varphi }_2+2k\pi$ ）：

• 该系统的值域、最大值、最小值、最小正周期具有绝对的刚性正定不变量特征，恒完全相同（仅受 $A$ 和 $\omega$ 严密）；
• 该系统的零点集、对称轴方程簇、对称中心点集、单调区间，由于两初相之差 $\Delta \varphi ={\varphi }_1-{\varphi }_2$ 造成的绝对水平位移量 $\Delta x=\frac{\Delta \varphi }{\omega }$ 存在，其空间离散坐标恒严格全盘错位，绝不可能相同。 掌握了这一“相位位移控制网”，未来在任何模拟考的多选题中遇到类似同频波形对比，肉眼验证参数即可在一瞬间排除 A、D 选肢。

3. 方法推广（由局部整体代换向全域复合函数的运算能力泛化）： 本题所展现的将括号内复合变量视为整体、通过不变量关系逆向分离未知元的思想，具有较强的跨章节迁移价值。它不仅是高一三角函数客观题的常用方法，未来在选择性必修第二册中的“超越函数构造（如研究抽象复合函数 $y=f(2x-1)$ 的对称轴与奇偶性）”、或者是解析几何中“引入双曲/三角参数方程的整体夹角代换求解几何最值”时，其核心思路——“分离外部映射算子，引入整体替身与经典不变量矩阵咬合，实现复杂复合结构向线性方程的化归”。掌握这一方法，考场上遇到同类问题便能从容应对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 1977-北京理-04