2024-新高考I卷-10 多-三次函数

本题导读

本题考查利用导数研究三次函数的性质. 核心意图是要求学生准确计算导数以确定极值点与单调区间，并在此基础上通过自变量的范围变换，利用单调性比较函数值的大小.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）设函数 $f(x)=(x-1{)}^2(x-4)$，则()

A. $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点

B. 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(x^2)$

C. 当 $1<x<2$ 时，$-4<f(2x-1)<0$

D. 当 $-1<x<0$ 时，$f(2-x)>f(x)$

🔍【思路分析】

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1. 求导分析性质：先对 $f(x)$ 求导，确定驻点，并分析 $f(x)$ 的单调递增和递减区间，从而判定 A 选项.
2. 比较函数值（B、D）：

• 对于 B，在 $x\in (0,1)$ 时比较 $x$ 与 $x^2$ 的大小，结合 该区间的单调性判定.
• 对于 D，通过 $-1<x<0$ 确定 $x$ 与 $2-x$ 的范围，分别 代入或利用对称性/单调性判断.

3. 复合范围判定（C）：设 $t=2x-1$，根据 $x$ 的范围求出 $t$ 的范围，再观察 $f(t)$ 在该范围内的取值范围.

✅【答案】

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ACD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并分析单调性 $f(x)=(x^2-2x+1)(x-4)=x^3-6x^2+9x-4$. 求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$. 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=1,x_2=3$. 当 $x\in (-\infty ,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (1,3)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (3,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增. 由此可知，$x=3$ 是极小值点，$x=1$ 是极大值点。 故 A 正确.

第二步：验证 B 选项 当 $0<x<1$ 时，有 $x^2<x$. 由第一步知，$f(x)$ 在 $(-\infty ,1)$ 上单调递增. 因为 $x^2<x<1$，所以 $f(x^2)<f(x)$. 选项表述为 $f(x)<f(x^2)$，与事实相反. 故 B 错误.

第三步：验证 C 选项 当 $1<x<2$ 时，令 $t=2x-1$，则 $t\in (1,3)$. 由第一步知，$f(x)$ 在 $(1,3)$ 上单调递减. 所以 $f(3)<f(t)<f(1)$. 计算端点值：$f(1)=0$，$f(3)=(3-1{)}^2(3-4)=4\times (-1)=-4$. 因此 $-4<f(2x-1)<0$ 恒成立。故 C 正确.

第四步：验证 D 选项 当 $-1<x<0$ 时，$2-x\in (2,3)$.

已知 $x\in (-1,0)$，由单调性知 $f(-1)<f(x)<f(0)$.

$f(-1)=(-1-1{)}^2(-1-4)=4\times (-5)=-20$. $f(0)=(0-1{)}^2(0-4)=-4$。所以 $f(x)\in (-20,-4)$. 又 $2-x\in (2,3)$，由单调性知 $f(3)<f(2-x)<f(2)$. $f(3)=-4$，$f(2)=(2-1{)}^2(2-4)=-2$。所以 $f(2-x)\in (-4,-2)$. 显然，对于任何满足条件的 $x$，$f(2-x)$ 的最小值 $-4$ 都要大于 $f(x)$ 的最大值 $-4$（临界点除外），即 $f(2-x)>-4>f(x)$。故 D 正确.

故选：ACD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次多项式的导数运算法则、利用导数正负割裂单调区间、基于整体代换的复合函数局域值域映射、跨区间函数值大小的“值域隔离放缩技术”。
2. 核心方法：整体换元流与值域隔离筛选术。多选题后段在比对形如 $f(2-x)>f(x)$ 这种跨越了不同单调区间的代数式时，强行代入展开会催生出复杂的复杂高次差分方程。本题演示的**“值域隔离法”**（抓住两段在分界点 $x=0$ 和 $x=2$ 处的极限常数 $-4$ 筑起隔离防御），直接将复杂的超越不等式比对简化转化为两段静态值域开区间的交集审查，方向极度纯粹。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（B选肢中单调性保序发生方向性错位）：部分同学在做 B 选项时，看到 $x^2<x$，直观上联想到“大函数值对应大自变量”，粗心错判为 $f(x^2)<f(x)$，导致符号反转而误选。处理此类问题，必须严格复核自变量所在的区间到底是增区间还是减区间。
• 避坑指南 2（C选肢漏掉端点开闭状态）：换元得到 $t\in (1,3)$ 时，由于原题干 $1<x<2$ 为严格不等号，故 $t$ 的端点 1 和 3 均无法闭合取到。对应的函数值 $-4$ 与 0 同样属于开区间。虽然本题是选择题不显形，但若在填空题中错写为闭区间，属于原则性概念盲区。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版选择性必修第二册第六章《导数及其应用》中“利用导数研究函数的单调性与极值”章节课后高阶探究习题。命题组通过引入一次复合变换 $2x-1$ 与反射平移变换 $2-x$，将高等数学中关于**“局部函数的凹凸性包络面”**与高中最经典的三次函数进行了跨维度缝合，是一道不靠死记二级结论、纯粹考查考生“严密逻辑推理能力”的标杆级客观压轴题。
2. 结论推广（三次函数关于对称拐点的“全域反射不等式网络”）： 为了丰富您的文献库知识体系，我们可以从更高维的射影几何视角来揭示 D 选项背后的数学圣律。

• 对于任意标准三次函数 $f(x)=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$，其图像在平面上关于对称拐点（Inflection Point） $x_0=-\frac{B}{3A}$ 呈严格的中心对称。

• 本题中， $x_0=-\frac{-6}{3\times 1}=2$。计算二阶导数 $f^{\prime \prime }(2)=0$，宣告 点 $(2,-2)$ 恰好是该函数的几何对称中心。

• 既然 $(2,-2)$ 是对称中心，根据中心对称公式，恒有关系： $f(x)+f(4-x)=2\times (-2)=-4$。

• 题干中给出的自变量在负半轴 $-1<x<0$ 盘整，此时 $2-x$ 的中点并不等于 2。通过这种关于中心对称位置的偏置偏移，我们可以直接建立一个通用结论。利用这一结论，未来在任何模拟卷上只要看到形如“三次函数动点跨区间比对”，只需心算出拐点位置，利用对称图形的隆起方向，即可免笔实现肉眼简化快速判断。

3. 方法推广（从代数隔离到全域复合函数的值域范围泛化）： 本题所展现的利用换元法控死变量范围、再利用区间单调性分离外壳的技术，是攻克多选题后段最坚固的。未来当这一代数框架推广到解答题最后一问中的“结合导数工具研究复合超越函数 $y={\text{e}}^{f(x)}-\ln (f(x))$ 的全域极值范围”、或者是解析几何大题中出现的“求动态弦长在双变量约束下的值域最值”时，其底层的方法——“引入中间变量将多元转化为一元复合，通过区间划分实现局部根的孤立筛选”，其操作本质完全相通。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-新课标I卷理-21 解-曲线上某点切线方程