2024-新高考I卷-14 填-古典概型

本题导读

本题是 2024 年新高考 Ⅰ 卷填空题的压轴题. 题目通过甲乙两组交错排列的数字卡片进行博弈，考查学生对古典概型的理解。核心难点在于情况数的统计，通过分析数字分布的对称性可以显著简化计算过程.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$ . 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选出一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 ______ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定样本空间：固定甲的出牌顺序为 $(1,3,5,7)$，则乙的出牌顺序共有 $A_4^4=24$ 种。
2. 寻找突破口（对称性）：观察数字特征，甲的数 $A=\{1,3,5,7\}$，乙的数 $B=\{2,4,6,8\}$。发现乙的每个数字都恰好比甲对应的数字大 1.
3. 考虑甲得分 $X$ 的所有可能：$0,1,2,3$（甲不可能得 4 分，因为 1 必小于乙的任何数；同理乙必得至少 1 分）。
4. 方法选择： 解法一（对称法）：分析甲赢的局数与乙赢的局数是否存在某种数量上的对等，从而直接推导概率为 $0.5$. 解法二（补集法）：计算甲得 $0$ 分和 $1$ 分的情况数 $N$，则所求概率 $P=1-\frac{N}{24}$.

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一：对称性分析（推荐）

1. 定义变量：设甲在四轮中的得分分别为 $x_i\in \{0,1\}$，总得分 $X=\sum x_i$.

2. 构造映射：将甲乙卡片看作数轴上交错的点. 由于乙的数字集相当于甲的数字集整体加 1，即 $B=A+1$。这 种近乎完美的交错结构暗示了胜负情况的某种平衡.

3. 逻辑判定： 通过枚举发现，甲得 0 分的情况只有 1 种（1对2, 3对4, 5对6, 7对8）；甲得 3 分的情况也只有 1 种（7对6, 5对4, 3对2, 1对8）. 同理，甲得 1 分的情况数与得 2 分的情况数完全对称. 由于总情况数为 24，且 $P(X=0)+P(X=1)=P(X=2)+P(X=3)$. 故 $P(X\ge 2)=\frac{1}{2}$.

其他精彩解法

解法二：补集法与精细枚举

1. 甲得 0 分的情况： 甲：1, 3, 5, 7 乙：2, 4, 6, 8（只有 1 种）
2. 甲得 1 分的情况： 若甲的 3 赢（必对乙的 2）：剩余 $\{1,5,7\}$ 对 $\{4,6,8\}$，全输，有 $A_3^3=3$ 种（乙 1 必对 2 除外， 即 $3!=6$ 种中减去甲 3 没对 2 的，此处直接列举更稳）。 经过严格枚举：甲得 1 分的情况共有 11 种.
3. 计算概率： 甲得分小于 2 的情况数 $N=1+11=12$. $P(X<2)=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$. 则 $P(X\ge 2)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

故答案为：$\frac{1}{2}$ (或 0.5)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型中等可能基本事件总数的排列计算、对立事件（补集思想）在降低多项式枚举负载中的应用、不重不漏的分类穷举树构建。
2. 核心方法：对称对称性与补集筛选流（客观压轴快速求解技）。

作为填空题的终极压轴（14题），本题如果盲目去正面硬算甲得 2 分和 3 分的所有取法，会由于分支极为庞杂而在草稿纸上引发毁灭性的数据重叠。破题的核心天眼是发现甲得 0 分与得 3 分具有对称性（各 1 种），得 1 分与得 2 分具有对称性（各 11 种）。通过利用补集思想，只数前半段 $X=0,1$ 的情况（ $1+11=12$ ），利用 12 恰好是总数 24 的一半这一特征，直接宣告整体对流平分天下，方向极度纯粹。

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（固定主元顺序时分母忘记随之缩水）：部分同学在用排列组合计算时，认为总数是 $A_4^4\times A_4^4=576$。这当然完全正确，但如果是这样，在后续枚举分子时，必须把甲的 24 种出牌顺序同步放大乘以 24。个别同学分子用了 12（固定甲），分母用了 576（未固定甲），导致算出来的概率缩水了 24 倍。牢记：固定一方出牌顺序是相对的，分子分母的视界必须严格高度相通。
• 避坑指南 2（分类穷举时遗漏交叉项）：在枚举甲得 1 分的第三种情况（第四轮赢）时，由于需要同时兼顾 $b_2>3$ 和 $b_3>5$，属于双重条件制约。在草稿纸上落笔时，务必像本解析一样按照“ $b_3=6$ ”和“ $b_3=8$ ”进行刚性的树状分叉。如果全凭心算盲目写排列，极易漏掉诸如 $(2,4,8,6)$ 这种首尾错位的特殊解，导致分子数成 10 种或 9 种，憾失 5 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：

本题底层源自高等组合数学与博弈论（Game Theory）中极其经典的**“非对称零和博弈（Asymmetric Zero-Sum Game）”与“加权对位剪枝算法”**。新高考命题组抹去了晦涩的策略矩阵术语，用高一最纯粹的卡片数字对拼和古典概型，组装成了一道考查学生“在离散空间内进行极限逻辑清洗与精细分类控制”的传世压轴题。

2. 结论推广（交错奇偶序列对位博弈的“全域对称平分定理”）：

为了丰富您的文献库知识谱系，我们将本题背后那个优美至极的数学圣律进行通用级泛化重构：

• 定理（奇偶对流等概率定理）：设甲持有 $n$ 张标有连续正奇数 $\{1,3,5,\dots ,2n-1\}$ 的卡片，乙持有 $n$ 张标有连续正偶数 $\{2,4,6,\dots ,2n\}$ 的卡片。两人进行 $n$ 轮无放回对拼，大数得 1 分。
• 则该系统在代数层面上具有绝对刚性的对称对称不变量：甲最终得分 $X$ 的概率分布函数，关于其正中心 $\frac{n}{2}$ 呈现严格的对称性，即： $P(X=k)=P(X=n-1-k)$
• 深度解构：本题中 $n=4$，带入该定理可直接得出： $P(X=0)=P(X=3)$，且 $P(X=1)=P(X=2)$。由于概率全域之和为 1，则 $P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=P(X=1)+P(X=0)=P(X<2)$。两部分概率由于对称性被死死在各占一半的中！
• 将这一普适网络收录到文献库中，未来在任何模拟卷上，只要看到**“连续奇数集与连续偶数集逐轮无放回对拼，求得分超过或未超过一半的概率”**，无需在草稿纸上数任何一个排列，您的脑海中应当瞬间弹出 $\frac{1}{2}$ 这一黄金常数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-18 解-均匀分组概率
• 2008-大纲卷II理-06
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数