2024-新高考I卷-15 解-解三角形

本题导读

本题是 2024 年新高考 Ⅰ 卷的解答题第一题，考查解三角形的核心知识.第一问利用余弦定理推论求角；第二问综合利用面积公式、正弦定理及三角恒等变换求解边长，逻辑清晰，计算量适中.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）记 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $\sin C=\sqrt{2}\cos B$，$a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab$.

(1) 求 $B$；

(2) 若 $△ABC$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$，求 $c$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问突破口：已知条件 $a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab$ 结构极其符合余弦定理。通过变形可求出 $\cos C$，进而确定角 $C$。再利用 $\sin C=\sqrt{2}\cos B$ 求出 $\cos B$，确定角 $B$。
2. 第二问策略：

• 思路一（正弦定理+面积）：已知 $B,C$，可得 $A$。设外接圆半径 $R$ 或利用正弦定理将边 $a,b$ 用 $c$ 表示，代入面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 或 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 建立方程。
• 思路二（几何体现）：过顶点作高，将三角形分割为两个特殊直角三角形，利用边角关系直接表示面积。

✅【答案】

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(1) $B=\frac{\pi }{3}$

(2) $c=2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

(1) 求 $C$ 与 $B$： 由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 代入已知条件 $a^2+b^2-c^2=\sqrt{2}ab$ 得： $\cos C=\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $C=\frac{\pi }{4}$。 又由 $\sin C=\sqrt{2}\cos B$，得： $\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\cos B⟹\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos B$ 解得 $\cos B=\frac{1}{2}$。因为 $B\in (0,\pi )$，所以 $B=\frac{\pi }{3}$。

(2) 第(2)问详解

(2) 求 $c$： 解法一：正弦定理与面积公式综合 在 $△ABC$ 中，$A=\pi -B-C=\pi -\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{12}$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得： $b=\frac{c\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}c$ 根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$： $S=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2}c\right)\cdot c\cdot \sin \frac{5\pi }{12}=3+\sqrt{3}$

其中 $\sin \frac{5\pi }{12}=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。 代入方程： $\frac{\sqrt{6}}{4}{c}^2\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$ $\frac{6+\sqrt{12}}{16}{c}^2=3+\sqrt{3}⟹\frac{6+2\sqrt{3}}{16}{c}^2=3+\sqrt{3}$ $\frac{2(3+\sqrt{3})}{16}{c}^2=3+\sqrt{3}$ 解得 $\frac{1}{8}{c}^2=1⟹c^2=8$，故 $c=2\sqrt{2}$。

解法二：几何体现法（补解）

如图，过 $A$ 作 $AD\perp BC$ 于 $D$。 在 $Rt△ABD$ 中，$\angle B=60^{\circ }$，则 $BD=c\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}c$，$AD=c\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}c$。 在 $Rt△ACD$ 中，$\angle C=45^{\circ }$，则 $CD=AD=\frac{\sqrt{3}}{2}c$。

所以 $BC=BD+CD=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$。

面积 $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{2}c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{\sqrt{3}+3}{8}{c}^2$。

已知 $S=3+\sqrt{3}$，则 $\frac{3+\sqrt{3}}{8}{c}^2=3+\sqrt{3}⟹c^2=8⟹c=2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理推论的项数有理化约简、初等三角方程的内角定义域筛选、两角和的正弦展开多项式化简、正弦定理在基本量（边长化单变量）表达中的代换应用、几何高线体现的底边拆解。
2. 核心方法：黄金角几何体现作高法（大题防计算负担首选）．

解三角形大题的第二问，若计算出的两个已知内角均为工业标准级特殊角（如 $30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ }$ 等），更简洁的处理方式往往不是去硬拼两角和的 $\sin \frac{7\pi }{12}$ 这种带有重根号的繁琐式子。本题【解法二】演示的**“高线分割法”**，直接利用初中的体现几何关系（ $BD+CD=a$ ），在第一步就实现了项数的完全清爽化，将复杂的三角恒等变换直接简化转化为一元二次方程的系数约简（ $\frac{3+\sqrt{3}}{8}{c}^2=3+\sqrt{3}$ ），不仅速度快，且全无草稿纸上丢失负号或因式计算崩溃的风险。

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第一问忽略内角定义域导致伪根残留）：在由 $\cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解角 $C$ 时，在严谨的解答题表述中必须写明 $C\in (0,\pi )$ 这一前置刚性安全防御红线。如果直接写 $C=\frac{\pi }{4}$，虽然最终数值正确，但在高考阅卷细则中会被认定为“逻辑阐述残缺”，酌情扣除 1 步骤分。
• 避坑指南 2（第二问正弦定理代换时分子分母颠倒）：在利用正弦定理变形 $a=\frac{\sin A}{\sin C}c$ 时，部分同学由于书写习惯不好，容易粗心把比例写反，写成 $a=\frac{\sin C}{\sin A}c$。后续代入面积公式后会算出一个极其杂乱且无法与 $(3+\sqrt{3})$ 完成抵消消元的庞大根式。考场上如果发现算出来的多项式无法优美地相互约简，应当第一反应回看基本量的转换公式是否发生了错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版选择性必修第一册第一章《解三角形》章节后的经典标准母题。新高考命题组在 2024 年对解答题顺序和题型进行了大刀阔斧的重构（解三角形被前置作为大题开篇第一题），本题抹去了以往模拟卷中刻意设置的“求 $\sin A+\sin B$ 动态值域范围、结合基本不等式求周长最值”等晦涩的外壳包装，回归最本源、最传统的“正余弦基本功互换”与“面积比例控制”，是一道含金量高、极具区分度与教学引导性的传世基础大题。
2. 结论推广（双特殊角底高对流的“解三角形通用最简网络”）：

可将本题中由 $60^{\circ }$ 与 $45^{\circ }$ 引发的底边与面积特征，抽象提炼为一个普适的通用级几何模型：

• 在任意 $△ABC$ 中，若已知两个内角满足定值 $B=60^{\circ },C=45^{\circ }$。
• 则该三角形的三边长比例将恒被在如下规整的无理数同构网络中： $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}:\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}=(\sqrt{3}+1):\sqrt{6}:2$
• 此时，该系统的全域面积公式与独立边长 $c$ 之间，恒存在刚性不变量关系： $S=\frac{3+\sqrt{3}}{8}\cdot c^2$
• 这一高阶不变量公式完美揭示了本题的底层代数底盘。将其收录入库，未来在面对任何模拟卷上“已知两角为 $60^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$ 求最值或边长”的客观题或解答题时，均可在脑海中实现 3 秒盲判，达成简化制导。

3. 方法推广（从单三角形向全域复合同构多项式的运算能力泛化）：

本题所展现的将空间几何多项式（边角关系）通过正余弦定理转化为单一自变量、再利用比例抵消去分母的思想，是攻克整张卷前段解答题最坚固的。未来当这一考点推广到解答题后段中的“解析几何大题第一问利用定比分点简化动弦中点方程”、或者是“利用空间向量求解复杂二面角的正弦值”时，其底层的方法——“抓住核心的不变量比例，通过引入整体替身（如本题中的 $c$ ）实施代数抵消消元”，其操作本质完全合流。掌握这一方法，是确保您在高考考场上稳稳斩获基础解答题全部满分最长期有效的思维。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2019-全国卷II文-15 填-正弦定理