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2024-甲卷文-04 单-古典概型

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本题导读

本题考查古典概型，以及排列与组合。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场，且甲或乙最后一个出场的概率是（ ）

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 确定基本事件总数（分母）：
  • 四人随机抽签确定出场次序，本质是四个不同元素的全排列，总情况数为 。
  1. 确定符合条件事件数（分子）：
  • 限制条件包含两个核心逻辑链：① 丙不能在第一位；② 第四位（最后一位）只能由甲或乙担任。
  • 解法一（排列组合分步法）：由于第四位限制最严（只有甲乙两种可能），优先安排第四位。随后安排第一位（排除丙及第四位已坐的人），最后对其余两人进行全排列。
  • 解法二（枚举对照法）：直接写出全排列的 24 种情况，然后通过条件进行人工过滤，统计达标事件个数。
  1. 计算概率：利用古典概型公式 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：计算样本空间总基本事件数

甲、乙、丙、丁四人随机确定出场次序，所有的可能情况等价于 4 个元素的无条件全排列。 总基本事件数 为：

🛠 第二步：计算符合限制条件的事件数

设事件 为“丙不是第一个出场，且甲或乙最后一个出场”。我们可以使用分步计数原理来安排出场次序：

  1. 第一步：安排第四个（最后一个）出场的人 根据题意，最后一个出场的人必须是“甲或乙”，因此有 种选法（选甲或选乙）。
  2. 第二步：安排第一个出场的人 根据题意，“丙不能第一个出场”。 由于总共 4 人中已经有 1 人被安排在了第四位，还剩 3 人（包含丙）。 去掉丙之后，第一个出场的人只能从剩下的 2 人中选择，因此有 种选法。
  3. 第三步：安排中间两个位置（第二、第三个出场的人） 此时，首尾两个位置的人员已经敲定，还剩下 2 个人（其中必然包含丙）。 将这 2 个人安排在剩下的两个空位上，情况数为这两个元素的全排列：

根据分步计数乘法原理，满足条件的基本事件数 满足：

🛠 第三步：根据古典概型求概率

由古典概型的概率计算公式，所求事件的概率 为：

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：古典概型中分子分母的独立计数；有限限制条件下的全排列分配。
  2. 核心方法：特殊位置（或特殊元素）优先安排法。
  3. 避坑指南：
  • 位置冲突重叠：在分步安排位置时，第一步确定了最后一位是甲或乙中的一人后，在第二步安排第一位时，千万不能直接从“甲、乙、丁”3人中选择（从而写成3种），因为最后一位已经消耗掉了甲或乙中的某一个人。必须时刻扣减已被消耗的资源。
  • 如果对排列组合公式不熟练，由于总数只有 24 种，在考场上直接采取列举法（如纸质解析中思路1所示）进行肉眼筛选，也是一种能够保底拿分的稳健手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第4题。属于经典的概率大类基础选择题。题目以日常比赛抽签为叙事背景，旨在考查考生将复杂的逻辑限制（非、或、且）转化为排列组合乘法模型的基本数理素养。
  2. 结论推广： 本题模型可以抽象推广为**“对头排斥对尾包含的离散概率流形”**： 设有 个不同的元素进行全排列。要求元素 不能排在首位，且末位必须由集合 （其中 ）中的元素担任。 通过相同的优先截获分步法，其达标的基本事件总数通式可直接固化为： 而全域样本总数为 。通过消项化简，该古典概型的概率不变量通式为： 本题中总元素 ，末位候选人数量 （甲或乙），丙（即 ）不在候选人中。直接代入推广通式： 利用此不变量模型，可绕过所有具体的排列分步分析，实现零失误的瞬间心算核验。

🔗【关联脉络】

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