本题导读
本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前 n 项和。
📌【题干】
Question
（2024年甲卷文）记 为等差数列 的前 项和.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 方法一：性质法（首尾对称不变量）：
- 考查等差数列的前 项和公式： 。
- 代入 得到 。
- 利用等差数列核心不变量性质：若 ，则 。
- 由于下标满足 ，直接可得 。
- 方法二：中项法（等差中项映射）：
- 奇数项的前 项和满足中心对称性： 。
- 目标项 关于 严格对称，由等差中项性质知 。
- 方法三：基本量展开法：
- 将 和 全部用首项 和公差 展开，列出关于两者的代数关系式进行整体消元。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
🛠 解法一：下标和不变量性质法
根据等差数列的前 项和公式，可知其前 项和为：
已知 ，将该常数代入上式中：
在等差数列中，由于通项为一次函数流形，具备下标和等价性质。 因为待求项与已知项的下标和满足：
根据等差数列的性质，可得两组对偶项的代数和严格相等：
将 ① 式结果直接代入 ② 式中，即可锁定目标值：
🛠 解法二：等差中项性质法
在等差数列 中，前 项和满足奇数项的中项发散性质，即所有项关于第五项 轴对称：
已知 ，直接解得第 5 项的值：
考查待求目标项 。因为下标 和 的算术平均数为 （即 ），由等差中项定理可知：
将 ③ 式结果代入 ④ 式中：
故选：B。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：前 项和公式 的变形；中项不变量性质 的应用。
- 核心方法：整体代换法（避开对 和 的单独求解，直接寻求项集与和集的比例因子）。
- 避坑指南：
- 陷入死算陷阱：部分考生习惯性地将已知条件列为 ，然后试图去解出 和 。由于一个方程无法解出两个未知数，容易产生心理恐慌。请注意：高考数列选择题中，若给出的方程个数少于基本量个数，必然考查的是结构整体代换或性质快速求解。
- 运用中项法时，注意前 项和的中心是 （即 ），项数与中项的关系是 ，切勿将分母或系数记错。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第5题。属于数列大类中的经典必考高频题型。题目避开了繁琐的代数运算，旨在考查考生对等差数列图形和下标对称性等数学本质特征的直观理解。
- 结论推广： 在离散代数与算术级数流形中，本题模型可以推广为一个通用的**“奇数和对称项互织不变量定理”： 设等差数列 的前 （ 为奇数）项和为 。若给定的两目标项的下标满足刚性对称约束： 则这两项之和表现出极强的结构刚性，与数列的首项及公差大小完全分离**，其数值恒满足与 的如下一阶线性响应特征： 本题中 ，待求项下标 ，满足推广前提。直接套用不变量模型心算： 利用此模型，可在瞬间实现零失误的盲视核验。
🔗【关联脉络】
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