2024-甲卷文-09 单-圆的方程

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）直线 $2x-y-2=0$ 与圆 $x^2+y^2-6x-8y=0$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$（ ）

A. $4$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. 解法一：垂径定理几何法（通性通法）：

• 将圆的一般方程通过配方法化为标准方程 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$，提取圆心坐标 $M(x_0,y_0)$ 与半径 $R$。
• 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，求出圆心 $M$ 到直线 $2x-y-2=0$ 的垂直距离 $d$。
• 根据垂径定理构筑的直角三角形几何不变量（半径、弦心距、半弦长满足勾股定理），直接求出半弦长： $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{R^2-d^2}$，进而翻倍得到结果。

2. 解法二：特例观察法（快速求解技巧）：

• 在求出圆心坐标后，可直接将圆心坐标代入直线方程进行检验。
• 若代入后方程平衡（即距离 $d=0$），说明直线极其特殊地经过了圆心。
• 此时，截得的弦 $AB$ 恰好为该圆的直径，弦长直接等于 $2R$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：将圆的方程化为标准形式

已知圆的一般方程为： $x^2+y^2-6x-8y=0$

对 $x$ 相关的项与 $y$ 相关的项分别进行配方： $\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2-8y+16\right)=9+16$ $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$

由此可以直接读出该圆的几何参数：

• 圆心坐标为： $M(3,4)$

• 半径平方 $R^2=25$，故半径为： $R=5$

🛠 第二步：计算圆心到直线的距离（弦心距）

📌 途径一：常规点面距离代入 已知直线方程为 $2x-y-2=0$，圆心为 $M(3,4)$。 由点到直线的距离公式，圆心到该直线的距离 $d$ 为： $d=\frac{|2\times 3-4-2|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|6-4-2|}{\sqrt{5}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0$

由于弦心距 $d=0$，这意味着圆心 $M(3,4)$ 恰好严格地落在了直线 $2x-y-2=0$ 上。

📌 途径二：特殊位置一眼判定 在求得圆心 $M(3,4)$ 后，尝试将其作为已知点直接带入直线左端项： $\text{LHS}=2\times 3-4-2=6-4-2=0=\text{RHS}$ 点在直线上，判定成功。

🛠 第三步：求解弦长 $|AB|$

因为直线经过圆心，所以直线与圆相交所得的弦 $AB$ 构成了该圆的一条完整直径。 根据圆的几何性质，直径的长度为半径的两倍： $|AB|=2R=2\times 5=10$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆方程的标准配方；点到直线距离公式的精确运用；直径弦长特征。
2. 核心方法：数形结合法（通过点线距离判断空间相对位置）。
3. 避坑指南：

• 代数死算的效率陷阱（如纸质解析中思路2所示）：部分考生习惯于将直线方程反解出 $y=2x-2$ 后，盲目代入圆方程联立，然后使用韦达定理与复杂的弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ 进行大运动量硬算。虽然逻辑正确，但在选择题中极大消耗了时间，且容易因多项式展开出错。请死记：解析几何中处理“直线与圆”的交线问题，95% 以上均应当优先选用垂径定理勾股三角形（ $R,d,\frac{L}{2}$ ）的几何法，建系硬联立是万不得已的最后范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第9题。属于解析几何中经典的直线与圆位置关系的基础选择题。命题专家在参数设计上暗设了“直线过圆心”这一巧妙的几何巧合，旨在筛查考生是否具备“先观察几何特例、后盲目代数展开”的优秀数学思维品质。
2. 结论推广： 在平面解析几何中，对于直线 $Ax+By+C=0$ 与一般圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的相交问题： 其相交弦长不变量的通用解析结构可由垂径定理完全显化表示： $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}-\frac{{|A\left(-\frac{D}{2}\right)+B\left(-\frac{E}{2}\right)+C|}^2}{A^2+B^2}}$ 当且仅当斜率和截距配置使得分子 $\left|-\frac{AD}{2}-\frac{BE}{2}+C\right|=0$ 时，方程的第二项（弦心距阻尼项）彻底归零，弦长空间流形达到极大值包络线，即直径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆
• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质