2024-甲卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查描述法转列举法，以及交集运算。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$， $B=\{x\mid \sqrt{x}\in A\}$，则 ${\complement }_A(A\cap B)=$（ ）

A. $\{1,4,9\}$　　　B. $\{3,4,9\}$　　　C. $\{1,2,3\}$　　　D. $\{2,3,5\}$

🔍【思路分析】

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1. 第一步（化简集合 $B$）：根据特征性质 $\sqrt{x}\in A$，把集合 $A$ 中的每个元素作为 $\sqrt{x}$ 的可能取值进行平方，从而列举出集合 $B$ 的代数结构。
2. 第二步（求交集 $A\cap B$）：比对集合 $A$ 与集合 $B$，提取出同时在两集合中出现的公共元素。
3. 第三步（求相对补集 ${\complement }_A(A\cap B)$）：根据补集的定义，在集合 $A$ 中扣除掉属于交集 $A\cap B$ 的那部分元素，剩下的元素集即为最终答案。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

这里是详细的推导步骤：

第一步：利用描述法条件列举化简集合 $B$ 已知集合 $A=\{1,2,3,4,5,9\}$． 集合 $B=\{x\mid \sqrt{x}\in A\}$，说明自变量 $x$ 的算术平方根必须严格来自于集合 $A$。 我们将集合 $A$ 中的元素依次作为 $\sqrt{x}$ 展开平方计算：

• 当 $\sqrt{x}=1⟹x=1^2=1$
• 当 $\sqrt{x}=2⟹x=2^2=4$
• 当 $\sqrt{x}=3⟹x=3^2=9$
• 当 $\sqrt{x}=4⟹x=4^2=16$
• 当 $\sqrt{x}=5⟹x=5^2=25$
• 当 $\sqrt{x}=9⟹x=9^2=81$

由此写出集合 $B$ 的列举形式： $B=\{1,4,9,16,25,81\}$

第二步：求两集合的交集 $A\cap B$ 找出集合 $A$ 与集合 $B$ 中完全相同的共有元素： $A=\{1,2,3,4,5,9\}$ $B=\{1,4,9,16,25,81\}$ 公共元素分量为 $1,4,9$。故有： $A\cap B=\{1,4,9\}$

第三步：计算在集合 $A$ 下的相对补集 ${\complement }_A(A\cap B)$ 根据相对补集定义，在全集 $A$ 中分离丢弃掉属于交集 $A\cap B=\{1,4,9\}$ 的所有元素： ${\complement }_A(A\cap B)=\{1,2,3,4,5,9\}\setminus \{1,4,9\}=\{2,3,5\}$ (快捷思考：根据集合等价关系公式， ${\complement }_A(A\cap B)\equiv {\complement }_{A}B$，即直接在 $A$ 集合中剔除掉属于 $B$ 集合的元素 $1,4,9$，直接锁定结果为 $\{2,3,5\}$)

故选：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根式描述法集合的逆向平移、集合交集运算提取公因元、全集约束下的相对补集消除。
2. 核心方法：由内而外的多级集合运算消元法。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（开方与平方的方向弄反）：部分考生由于考场紧张，将条件 $\sqrt{x}\in A$ 错看成 $x\in B$ 时对 $A$ 求根，把 4 算成 2，从而得出错误集合。牢记：由 $\sqrt{x}$ 还原 $x$ 的程序无条件是平方操作。
• 避坑指南 2（补集运算遗漏全集限制）：个别考生在做最后一级补集运算时，下意识将全集当成了实数集或正整数集，导致选出错误。必须看清符号底脚 ${\complement }_A$，所有元素的筛选和剔除动作只能局限在已知集合 $A$ 内部展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中“集合的基本运算”章节后的标准通关习题。新高考及传统高考命题组恒将其放置在客观题前两题，用以稳定考生心态，考查基本运算规范。
2. 结论推广：在集合代数控制矩阵中，对于任意两个有限集合 $A,B$，关于它们交集的相对补集具有如下刚性的等价恒等变换范围（德·摩根定律的局域塌陷形式）： ${\complement }_A(A\cap B)\equiv A\setminus B\equiv {\complement }_{A}B$ 该推广不变量网络宣告：要求 $A$ 与交集的补集，代数本质上等价于直接在 $A$ 中消去剔除所有落在 $B$ 内部的元素。掌握这一模型，本题中无需计算中间量 $A\cap B$，第一步求出 $B$ 后，直接拿 $A$ 减去 $B$ 即可在 3 秒内直接盲判出答案 $\{2,3,5\}$。
3. 方法推广：本题所展现的“将宏观描述条件转化为微观元素下列举、严格遵循由内而外的括号优先级实施多元消元”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是集合题的常用方法，未来在选择性必修第三册中的“概率统计大题第一问，利用条件概率对离散样本空间事件进行交集与对立事件事件数限制清洗”、或者是新定义大题中的“同余点集的有限集交叠计数”时，其核心思路——“抓住核心的集合边界定义，通过剔除冗余项实现高维空间向单变量元素的化归”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-01 单-集合并集
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集
• 2014-大纲卷理-02 单-集合交集