2024-甲卷理-04 单-等差通项

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列前 n 项和的性质。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_5=S_{10}$， $a_5=1$，则 $a_1=$（ ）

A. $\frac{7}{2}$　　　　　　B. $\frac{7}{3}$　　　　　　C. $-\frac{1}{3}$　　　　　　D. $-\frac{7}{11}$

🔍【思路分析】

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1. 方法一（等差中项性质）：由 $S_5=S_{10}$ 移项得 $S_{10}-S_5=0$，即 $a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=0$．利用等差中项性质可得 $5a_8=0⟹a_8=0$．已知 $a_5=1,a_8=0$，结合公差即可求出 $a_1$．
2. 方法二（基本量法）：设首项为 $a_1$，公差为 $d$．将 $a_5=1$ 和 $S_5=S_{10}$ 分别用 $a_1$ 和 $d$ 表示，列出二元一次方程组，解出 $a_1$．

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用等差中项性质

因为 $S_5=S_{10}$， 所以 $S_{10}-S_5=0$， 即： $a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=0$

由等差数列的性质， $a_6+a_{10}=a_7+a_9=2a_8$， 所以： $a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}=5a_8=0⟹a_8=0$

由通项公式可得： $a_8=a_5+(8-5)d⟹0=1+3d⟹d=-\frac{1}{3}$

求首项 $a_1$： $a_1=a_5-(5-1)d=1-4\times \left(-\frac{1}{3}\right)=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$

方法二：基本量法（通性通法）

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$． 由 $a_5=1$ 可得： $a_1+4d=1\dots \dots \text{(1)}$

由 $S_5=S_{10}$，代入前 $n$ 项和公式得： $5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d$ $5a_1+10d=10a_1+45d$ 变形整理得： $5a_1+35d=0⟹a_1+7d=0\dots \dots \text{(2)}$

联立方程①与②： $\{\begin{array}{l}{a}_1+4d=1\\ a_1+7d=0\end{array}$

由② - ①得： $3d=-1⟹d=-\frac{1}{3}$

将 $d=-\frac{1}{3}$ 代入②得： $a_1+7\times \left(-\frac{1}{3}\right)=0⟹a_1=\frac{7}{3}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的前 $n$ 项和公式、通项公式、等差中项性质。
2. 核心方法：等差中项法（方法一）适合快速口算；基本量代立方程组（方法二）逻辑直接，为通用解法。
3. 避坑指南：

• 运用基本量法时，注意公式的准确性，如 $S_{10}=10a_1+45d$，避免因项数和系数计算错误导致消元失败。
• 求出公差 $d$ 后，逆推首项 $a_1$ 时要看清项数间隔， $a_1=a_5-4d$，容易错当成 $a_5-5d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查等差数列基本性质的应用，属于高考小题中的基础题。
2. 结论推广：在等差数列中，若 $S_m=S_n(m<n)$，则有 $S_n-S_m=a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_n=0$．若项数差 $n-m$ 为奇数，则其中间项必然为 $0$，即 $a_{\frac{m+n+1}{2}}=0$．本题中 $m=5,n=10$，最中间项为 $a_8$，可直接得出 $a_8=0$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质
• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项