2024-甲卷理-15 填-对数运算

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及换底公式。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）已知 $a>1$ 且 $\frac{1}{{\log }_{8}a}-\frac{1}{{\log }_{a}4}=-\frac{5}{2}$ ，则 $a=$ _______________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数： ${\log }_{8}a$ 与 ${\log }_{a}4$ 的底数不同，利用换底公式把两者都化成与 ${\log }_{2}a$ 相关的分式。
2. 换元化归：设 $t={\log }_{2}a$ ，将超越方程化为一元二次方程。
3. 验根取舍：由 $a>1$ 知 $t>0$ ，解出双根后剔除负根。

✅【答案】

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$64$

✍【详细解析】

Abstract

🛠 第一步：换底统一

设 $t={\log }_{2}a$ 。由换底公式： ${\log }_{8}a=\frac{{\log }_{2}a}{{\log }_{2}8}=\frac{t}{3},{\log }_{a}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}a}=\frac{2}{t}$

🛠 第二步：化归为一元二次方程

原方程化为 $\frac{3}{t}-\frac{t}{2}=-\frac{5}{2}$ 两边同乘 $2t$ ： $6-t^2=-5t⟹t^2-5t-6=0⟹(t-6)(t+1)=0$ 解得 $t=6$ 或 $t=-1$ 。

🛠 第三步：验根取舍

由 $a>1$ 知 $t={\log }_{2}a>0$ ，故舍去 $t=-1$ ，得 $t=6$ 。 $a=2^6=64$ 故答案为 $64$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数换底公式 ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ 及底数次幂提取规则。
2. 核心方法：统一底数换元法。
3. 避坑指南：解出二次方程双根后，务必利用已知定义域约束（ $a>1⟹t>0$ ）剔除增根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题的数学背景是超越方程的代数化归。其本质是利用对数的换底公式（特别是互为倒数的对偶结构），将非线性的超越关系通过“换元映射”平滑投射为一元二次多项式方程，体现了数学中利用同构映射实现空间简化的核心思想。
2. 结论推广: 处理形如 $f({\log }_{m}x,{\log }_{x}n)=0$ 的双底数对数方程时，利用 ${\log }_{x}n=\frac{{\log }_{m}n}{{\log }_{m}x}$ 将其统一为单底数，换元即可转化为代数有理方程。
3. 方法推广: “整体换元法”是处理所有高阶超越函数（指对数、三角混合）的极简通法，其本质是通过引入特征替身消除系统的冗余自由度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(4)
• 1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较
• 1990-全国卷理-01 单-指数方程与对数