2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算

本题导读

本题考查数列极限，以及无穷数列极限的运算。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 计算：${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+20}{3n+13}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别类型：本题属于 $\frac{\infty }{\infty }$ 型的数列极限。
2. 核心原理：当 $n$ 趋于无穷大时，分式中起决定作用的是分子和分母的最高次项。
3. 计算策略：分子、分母同时除以 $n$（最高次项），将原式转化为常数与无穷小量之和的形式，利用极限运算法则求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分式转换 将分子、分母同时除以 $n$： $\frac{n+20}{3n+13}=\frac{\frac{n}{n}+\frac{20}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{13}{n}}=\frac{1+\frac{20}{n}}{3+\frac{13}{n}}$

第二步：求极限 利用极限运算法则，当 $n\to \infty$ 时，$\frac{20}{n}\to 0$，$\frac{13}{n}\to 0$。 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+20}{3n+13}=\frac{{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{20}{n})}{{\lim }_{n\to \infty }(3+\frac{13}{n})}=\frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}$

故填入答案为：$\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：掌握基本极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ 及其推论。

核心方法：“抓大头”。对于有理分式数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_k{n}^k+\dots }{b_m{n}^m+\dots }$： - 若 $k<m$，极限为 0； - 若 $k>m$，极限不存在（无穷大）； - 若 $k=m$，极限为最高次项系数之比 $\frac{a_k}{b_m}$。

避坑指南：填空题中直接观察最高次项系数 $1/3$ 即可快速求解，但在解答题中需写出同除以最高次项的过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n$（当 $|q|<1$ 时为 0）。

结论推广：本题是最高次系数之比的应用，即 $1/3$。

方法推广：“抓大头”。对于有理分式数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_k{n}^k+\dots }{b_m{n}^m+\dots }$： - 若 $k<m$，极限为 0； - 若 $k>m$，极限不存在（无穷大）； - 若 $k=m$，极限为最高次项系数之比 $\frac{a_k}{b_m}$。

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