2025-上海卷-04 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式中特定项系数的求解.通过二项式展开的通项公式，确定目标项的指数，进而提取并计算该项的系数，是上海卷代数板块的基础必考点.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）在二项式 $(2x-1{)}^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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解决此类问题的标准方法是通项公式法：

1. 写出通项：利用公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ 写出展开式的通项.
2. 分离变量：将含 $x$ 的项与常数部分分离，整理成 $k\cdot x^m$ 的形式.
3. 建立方程：令 $x$ 的指数等于目标指数（本题为 $3$），解出参数 $r$.
4. 计算系数：将 $r$ 代回常数部分 $k$ 中计算得出最终结果.

✅【答案】

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80

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定通项公式： 对于二项式 $(2x-1{)}^5$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)\cdot (2x{)}^{5-r}\cdot (-1{)}^r$ 其中 $r\in \{0,1,2,3,4,5\}$.

2. 整理通项： 将常数项与变量项分离： $T_{r+1}=\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)\cdot 2^{5-r}\cdot (-1{)}^r\right]\cdot x^{5-r}$

3. 确定 $r$ 的值： 题目要求 $x^3$ 的系数，令 $x$ 的指数为 $3$： $5-r=3⟹r=2$

4. 计算目标系数： 将 $r=2$ 代入常数部分： $\text{系数}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot 2^{5-2}\cdot (-1{)}^2$ $\text{系数}=10\cdot 2^3\cdot 1$ $\text{系数}=10\cdot 8=80$

故填：80

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 组合数性质：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$.

• 帕斯卡三角形：系数规律符合杨辉三角.

• 核心公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 的通项 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$。注意下标是 $r+1$，而组合数的下脚标是 $r$.

2. 方法总结： -符号陷阱：本题中 $b=-1$，负号必须参与运算。若漏掉 $(-1{)}^r$，在 $r$ 为奇数时会导致结果正负反转.

3. 避坑指南：

• 二项式系数：仅指组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$（如本题中的 $10$）.
• 项的系数：指该项除变量外的所有常数因子（如本题中的 $80$）.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 展开式中所有项的系数之和，可以通过给变量赋值（如令 $x=1$）快速求得.

2. 方法的推广:

• 赋值法：若要求常数项，可令变量指数为 $0$；若要求系数和，可令 $x=1$.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式
• 2008-山东卷理-09