2025-上海卷-13 单-独立事件

本题导读

本题考查概率论中相互独立事件的定义及其乘法公式.通过已知两个独立事件各自发生的概率，直接利用乘法原理求解它们同时发生的概率，是上海卷概率板块的最基础考法.

📌【题干】

Question

（2025年上海卷）已知事件 $A$, $B$ 相互独立，事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{1}{2}$，事件 $B$ 发生的概率为 $P(B)=\frac{1}{2}$，则事件 $A\cap B$ 发生的概率 $P(A\cap B)$ 为()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

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1. 核心概念：若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，意味着事件 $A$ 是否发生对事件 $B$ 发生的概率没有影响.
2. 公式推导：根据相互独立事件的定义，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积.公式表示为：$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
3. 计算步骤：将已知数据代入公式即可.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 条件提取： $P(B)=\frac{1}{2}$.

2. 求解过程： 根据相互独立事件的概率乘法公式： $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ 代入已知数值： $P(A\cap B)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

3. 结论：对应选项 B 正确。 故选：B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广: 若 $A,B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $B$,

$A$ 与 $\bar{B}$,

$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立.

2. 方法的推广:

• 全概率公式：用于处理复杂背景下由多个原因引起某一结果的概率计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率
• 2008-天津卷文-18 解-独立事件投球概率